Question

如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．
（1）求△ABC所扫过的图形的面积；
（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
（3）若∠BEC=15°，求AC的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意：易得△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF，进而得出S_{平行四边形ABFE}=2S_△EAF，故可求出△ABC扫过图形的面积为S_{平行四边形ABFE}；
（2）根据平移的性质，可得四边形ABFE为菱形，故AF与BE互相垂直且平分；
（3）根据题意易得：所以∠AEB=∠ABE=15°，BD•AC=3，可得AC•AC=3，进而可得AC的长度．
解答：解：（1）连接BF，由题意知△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF
∴四边形ABFE为平行四边形，
∴S_{平行四边形ABFE}=2S_△EAF
∴△ABC扫过图形的面积为S_{平行四边形ABFE}=2×3=6；

（2）由（1）知四边形ABFE为平行四边形，且AB=AE，
∴四边形ABFE为菱形，
∴AF与BE互相垂直且平分．

（3）过点B作BD⊥CA于点D，
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABE=15°．
∴∠BAD=30°，BD=AB=AC．
∴BD•AC=3，
∴AC•AC=3．
∴AC²=12．
∴AC=2．
点评：本题考查利用全等三角形的判定、菱形的判定和平移的知识结合求解．考查了学生综合运用数学的能力．