Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC交x轴负半轴于点C，∠BCA＝30°，如图①．

（1）求直线BC的解析式．

（2）在图①中，过点A作x轴的垂线交直线CB于点D，若动点M从点A出发，沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点N从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动，直线MN与直线AD交于点S，如图②，设运动时间为t秒，当△DSN≌△BOC时，求t的值．

（3）若点M是直线AB在第二象限上的一点，点N、P分别在直线BC、直线AD上，是否存在以M、B、N、P为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+2；（2），t＝秒或t＝+4秒时，△DSN≌△BOC；（3）M（+4）或M（）或M（）．

【解析】

（1）求出B，C的坐标，由待定系数法可求出答案；

（2）分别过点M，N作MQ⊥x轴，NP⊥x轴，垂足分别为点Q，P．分两种情况：（Ⅰ）当点M在线段AB上运动时，（Ⅱ）当点M在线段AB的延长线上运动时，由DS＝BO＝2，可得出t的方程，解得t的值即可得出答案；

（3）设点M（a，﹣a+2），N（b，），P（2，c），点B（0，2），分三种情况：（Ⅰ）当以BM，BP为邻边构成菱形时，（Ⅱ）当以BP为对角线，BM为边构成菱形时，（Ⅲ）当以BM为对角线，BP为边构成菱形时，由菱形的性质可得出方程组，解方程组即可得出答案．

解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，

∴x＝0时，y＝2，y＝0时，x＝2，

∴A（2，0），B（0，2），

∴OB＝AO＝2，

在Rt△COB中，∠BOC＝90°，∠BCA＝30°，

∴OC＝2，

∴C（﹣2， 0），

设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入B，C两点的坐标得，

，

∴k＝，b＝2，

∴直线BC的解析式为y＝x+2；

（2）分别过点M，N作MQ⊥x轴，NP⊥x轴，垂足分别为点Q，P．

（Ⅰ）如图1，当点M在线段AB上运动时，

∵CN＝2t，AM＝t，OB＝OA＝2，∠BOA＝∠BOC＝90°，

∴∠BAO＝∠ABO＝45°，

∵∠BCO＝30°，

∴NP＝MQ＝t，

∵MQ⊥x轴，NP⊥x轴，

∴∠NPQ＝∠MQA＝90°，NP∥MQ，

∴四边形NPQM是矩形，

∴NS∥x轴，

∵AD⊥x轴，

∴AS∥MQ∥y轴，

∴四边形MQAS是矩形，

∴AS＝MQ＝NP＝t，

∵NS∥x轴，AS∥MQ∥y轴，

∴∠DNS＝∠BCO，∠DSN＝∠DAO＝∠BOC＝90°，

∴当DS＝BO＝2时，

△DSN≌△BOC（AAS），

∵D（2， +2），

∴DS＝+2﹣t，

∴+2﹣t＝2，

∴t＝（秒）；

（Ⅱ）当点M在线段AB的延长线上运动时，如图2，

同理可得，当DS＝BO＝2时，△DSN≌△BOC（AAS），

∵DS＝t﹣（+2），

∴t﹣（+2）＝2，

∴t＝+4（秒），

综合以上可得，t＝秒或t＝+4秒时，△DSN≌△BOC．

（3）存在以M、B、N、P为顶点的四边形是菱形：

M（﹣2﹣2，2+4）或M（﹣2﹣4，2+6）或M（﹣2+2，2）．

∵M是直线AB在第二象限上的一点，点N，P分别在直线BC，直线AD上，

∴设点M（a，﹣a+2），N（b， b+2），P（2，c），点B（0，2），

（Ⅰ）当以BM，BP为邻边构成菱形时，如图3，

∵∠CBO＝60°，∠OBA＝∠OAB＝∠PAF＝45°，

∴∠DBA＝∠MBN＝∠PBN＝75°，

∴∠MBE＝45°，∠PBF＝30°，

∴MB＝ME，PF＝AP，PB＝2PF＝AP，

∵四边形BMNP是菱形，

∴，

解得，a＝﹣2﹣2，

∴M（﹣2﹣2，2+4）（此时点N与点C重合），

（Ⅱ）当以BP为对角线，BM为边构成菱形时，如图4，

过点B作EF∥x轴，ME⊥EF，NF⊥EF，

同（Ⅰ）可知，∠MBE＝45°，∠NBF＝30°，

由四边形BMNP是菱形和BM＝BN得：

，

解得：a＝﹣2﹣4，

∴M（﹣2﹣4，2+6），

（Ⅲ）当以BM为对角线，BP为边构成菱形时，如图5，

作NE⊥y轴，BF⊥AD，

∴∠BNE＝30°，∠PBF＝60°，

由四边形BMNP是菱形和BN＝BP得，

，

解得：a＝﹣2+2，

∴M（﹣2+2，2）．

综合上以得出，当以M、B、N、P为顶点的四边形是菱形时，点M的坐标为：

M（﹣2﹣2，2+4）或M（﹣2﹣4，2+6）或M（﹣2+2，2）．