Question

14．已知抛物线y=x²-（5+a）x+5a与x轴交于定点A和另一点C，
（1）求定点A的坐标；
（2）点B（1，2）是抛物线y=x²-（5+a）x+5a与以坐标原点为圆心的圆的一个交点，试判断直线AB与圆位置关系；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点P（P在点A的右上方），使△PAC、△PBC的面积相等？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到顶点A的坐标；
（2）连接OB，确定出直线AB解析式，求出与y轴的交点D，进而求出$\frac{OD}{AD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，再求出$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即$\frac{OD}{AD}=\frac{OB}{OA}$，得出△AOD∽△ABO，即∠ABO=∠AOD=90°，即可；
（3）利用待定系数法求出直线AB的解析式，再根据同底等高的三角形的面积相等，确定出线段AB的中点E和点C的直线解析式，与抛物线的交点即为所求的点P，然后联立抛物线与直线的解析式求解即可．

解答 解：（1）y=0，则（x-5）（x-a）=0，
解得x₁=5，x₂=a，
∴定点A的坐标为（5，0）；
（2）如图，

连接OB，由（1）A（5，0），
∴OA=5，
∵B（1，2），
∴直线AB解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
∴D（0，$\frac{5}{2}$），
∴OD=$\frac{5}{2}$，
在Rt△AOD中，AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∴sin∠OAD=$\frac{OD}{AD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
方法一，（判断∠ABO）
∵B（1，2），
∴OB=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{OD}{AD}=\frac{OB}{OA}$
∵∠OAD=∠BAO，
∴△AOD∽△ABO，
∴∠ABO=∠AOD=90°，
方法二，（判断∠ABO）
∵B（1，2），
∴OB=$\sqrt{5}$，
∵A（5，0），
∴AB=2$\sqrt{5}$，OA=5，
∵AB²+OB²=25=AB²，
∴△ABO为直角三角形，
∴∠ABO=90°，
∵点B在⊙O上，
∴直线AB是⊙O的切线；
（3）存在点P（$\frac{17}{3}$，$\frac{25}{9}$）．
理由：∵抛物线y=（x-5）（x-a）过点B，
∴（1-5）（1-a）=2，
∴a=$\frac{3}{2}$，
∴y=（x-5）（x-a）=（x-5）（x-$\frac{3}{2}$）；
∴C（$\frac{3}{2}$，0）
如图，
，
∵△PAC、△PBC的面积相等，
∴S_△PEB+S_△BEC=S_△PAE+S_△AEC，
∴BE=AE，
∵B（1，2），A（5，0），
∴E（3，1），
∵C（$\frac{3}{2}$，0），
∴直线CE的解析式为y=$\frac{2}{3}$x-1，
联立抛物线解析式y=（x-5）（x-$\frac{3}{2}$）和直线CE的解析式y=$\frac{2}{3}$x-1，
可得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{17}{3}}\\{y=\frac{25}{9}}\end{array}\right.$，
∵P在点A的右上方，
∴P（$\frac{17}{3}$，$\frac{25}{9}$）．

点评 本题是二次函数综合题型，主要考查了二次函数与x轴的交点问题，勾股定理的应用，直线与圆相切，相似三角形的判定与性质，同底等高的三角形的面积相等，（3）是本题的难点，考虑到点E是线段AB的中点求解是解题的关键．