Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=

3

且经过点C（0，-3）和点F（3，-2

3

）．
（1）求抛物线的解析式：
（2）如图1，设抛物线y=ax²+bx+c与x 轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，过A、B、C三点的⊙M交y 轴于另一点D，连接AD、DB，设∠CDB=α，∠ADC=β，求cos（α-β）的值；
（3）如图2，作∠CDB的平分线DE交⊙M于点E，连接BE，问：在坐标轴上是否存在点P，使得以P、D、E为顶点的三角形与△DEB相似．若存在，求出所有满足条件的点P的坐标（不包括点B）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据C点坐标求出c的值，再根据对称轴为x=

3

得出a、b之间的关系，由抛物线过F点即可求出此抛物线的解析式；
（2）由（1）中抛物线的解析式可求出A、B的坐标，连接AC、BC，利用锐角三角函数的定义可得出∠ACO的度数，
由相似三角形的判定可知△COB∽△AOC，故可得出∠CBO=∠ACO=30°，由圆周角定理可知AB为⊙M的直径，进而可得出α、β的值，由特殊角的三角函数值即可得出结论；
（3）连接CE，由圆周角定理可知DE为⊙M的直径，以DE为边的直角三角形有以下两种：
①若以DE为斜边，连接AE，显然△EDA∽△DEB、△DEC∽△DEB，由相似三角形的性质可求出P点坐标；
②若以DE为直角边，不存在以点D为直角顶点的三角形满足条件．过点E作EP⊥DE交y轴于点P，则△DPE∽△DEB，先根据勾股定理求出AC的长，可得出∠CDE=∠ADC=30°及CE=AC=2

3

，根据EP为⊙M的切线，可求出∠CEP=∠CDE=30°，由锐角三角函数的定义可求出CP的长，由OP=OC+CP得出OP的长，求出P点坐标即可．

解答：解：（1）∵C（0，-3），
∴y=ax²+bx-3，
∵-

b

2a

=

3

，
∴b=-2

3

a，
∴y=ax²-2

3

ax-3，
∵-2

3

=3²a-2

3

a×3-3，解得a=

1

3

，
∴b=-2

3

a=-

2 3

3

，
∴y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3；

（2）由

1

3

x²-

2 3

3

x-3=0，解得：x₁=-

3

，x₂=3

3

，
∴A（-

3

，0），B（3

3

，0）（3分），
连接AC、BC，
∵C（0，-3），
∴tan∠ACO=

OA

OC

=

3

3

，
∴∠ACO=30°，
∵OC²=3²=9=

3

×3

3

=OA•OB，即

OB

OC

=

OC

OA

，
∵∠COB=90°=∠AOC，
∴△COB∽△AOC，
∴∠CBO=∠ACO=30°，
∴∠BCO=60°，
∴∠ACB=∠ACO+∠BCO=30°+60°=90°，
∴AB为⊙M的直径，
∴点M为AB的中点，
∴∠ADC=∠ACO=30°，
∴β=60°，α=30，
∴α-β=60°-30°=30°，
∴cos（α-β）=cos30°=

3

2

；

（3）连接CE，
∵∠CDE=∠ADC=30°，∠DEC=∠ADO+∠ACO=30°+30°=60°，
∴∠DCE=90°，
∴DE为⊙M的直径，
∴△DEB为直角三角形．
∴以DE为边的直角三角形有以下两种：
①若以DE为斜边，连接AE，显然△EDA∽△DEB、△DEC∽△DEB，
∴点P₁（-

3

，0），P₂（0，-3）．
②若以DE为直角边，不存在以点D为直角顶点的三角形满足条件．过点E作EP⊥DE交y轴于点P，则△DPE∽△DEB，
∵AC=

OA2+OC2

=

( 3 )2+32

=2

3

，∠CDE=∠ADC=30°，
∴CE=AC=2

3

，
∵EP为⊙M的切线，
∴∠CEP=∠CDE=30°，
∴

CP

CE

=tan∠CEP=tan30°=

3

3

，
∴CP=

3

3

CE=

3

3

×2

3

=2，
∴OP=OC+CP=3+2=5，
∴P（0，-5）．
综上所述，满足条件的点P共有3个，其坐标分别为：P（0，-5）、P₁（-

3

，0）、P₂（0，-3）．

点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数、一次函数的关系式，锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，切线的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．