Question

3．△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB．EF⊥AC
（1）求证：△BDF∽△CEF；
（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系式，并探究当m为何值时S取最大值．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出∠B=∠C=60°，由已知得出∠BDF=∠CEF=90°，即可证出△BDF∽△CEF；
（2）作AM⊥BC于M，由等边三角形的性质得出AB=BC=4，BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=2，由勾股定理求出AM，得出△ABC的面积；求出∠DFB=∠EFC=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BD=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$m，CE=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$（4-m），得出DF、EF的长度，求出△BDF和△CEF的面积，由四边形ADFE面积S=△ABC的面积-△BDF的面积-△CEF的面积，得出S与m之间的函数关系式为S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\sqrt{3}$m+2$\sqrt{3}$；化成顶点式，得出当m=2时，S取最大值为3$\sqrt{3}$即可．

解答 （1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵DF⊥AB．EF⊥AC，
∴∠BDF=∠CEF=90°，
∴△BDF∽△CEF；
（2）解：作AM⊥BC于M，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=4，BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$BC•AM=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$，
∵BF=m，
∴CF=4-m，
∵∠BDF=∠CEF=90°，∠B=∠C=60°，
∴∠DFB=∠EFC=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$m，CE=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$（4-m），
∴DF=$\sqrt{3}$BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m，EF=$\sqrt{3}$CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-m），
∴△BDF的面积=$\frac{1}{2}$BD•DF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$m×$\frac{\sqrt{3}}{2}$m=$\frac{\sqrt{3}}{8}$m²，
△CEF的面积=$\frac{1}{2}$CE•EF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（4-m）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-m）=$\frac{\sqrt{3}}{8}$（4-m）²，
∴四边形ADFE面积S=△ABC的面积-△BDF的面积-△CEF的面积=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$m²-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（4-m）²=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\sqrt{3}$m+2$\sqrt{3}$，
即S与m之间的函数关系式为S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\sqrt{3}$m+2$\sqrt{3}$；
又∵S=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$m²+$\sqrt{3}$m+2$\sqrt{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（m-2）²+3$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$＜0，
∴当m=2时，S取最大值为3$\sqrt{3}$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定、等边三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算公式、含30°角的直角三角形的性质、二次函数的最值问题等知识；熟练掌握相似三角形的判定方法，求出S与m之间的函数关系式是解决问题（2）的关键．