Question

7．在锐角△ABC 中，已知点D，E，F分别是点A，B，C在边BC，CA，AB上的投影，△AEF，△BDF的内心分别为I₁，I₂，△ACI₁，△BCI₂的外心分别为O₁，O₂，证明：I₁I₂∥O₁O₂．

Answer 1

分析 先判断出I是三角形ABC的内心，再表示出II₁，II₂由正弦定理II₁×IA=II₂×IB，得出A，B，I₂，I₁四点共圆，且I关于⊙O₁，⊙O₂等幂，即CI⊥O₁O₂，再判断出CI⊥I₁I₂，即可．

解答 证明：如图，

设∠CAB=α，∠ABC=β，∠BCA=γ，AI₁，BI₂的延长线交于点I，
∴α+β+γ=180°
∵△AEF，△BDF的内心分别为I₁，I₂，
∴AI₁，BI₂分别为∠CAB，∠ABC的角平分线，
∴I是△ABC的内心，
∵点E，F均在以BC为直径的圆上，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴△AEF∽△ABC，相似比为$\frac{AE}{AB}=cosα$，
∵I₁，I分别是△AEF，△ABC的内心，
∴I₁A=IAcosα，
∴II₁=IA-I₁A=IA（1-cosα）=2IAsin²$\frac{α}{2}$，
同理：II₂=2IBsin²$\frac{β}{2}$，
在△ABI中，有正弦定理知，
IAsin$\frac{α}{2}$=IBsin$\frac{β}{2}$，
∴II₁×IA=2（IAsin$\frac{α}{2}$）²=2（IBsin$\frac{β}{2}$）2=II₂×IB，
∴A，B，I₂，I₁四点共圆，且I关于⊙O₁，⊙O₂等幂，
∴CI是⊙O₁与⊙O₂的根轴，
∴CI⊥O₁O₂，
设CI与I₁I₂交于点Q，
则∠II₁Q+∠I1IQ=∠II₁I₂+∠ACI+∠CAI=∠ABI₂+∠ACI+∠CAI=$\frac{β}{2}$+$\frac{γ}{2}$+$\frac{α}{2}$=90°，
∴CI⊥I₁I₂，
即：I₁I₂∥O₁O₂．

点评 此题是三角形的五心综合题，主要考查了三角形的内心，外心，投影，角平分线的性质，正弦定理，四点共圆，平行线的判断方法，解本题的关键是判断出CI⊥O₁O₂，也是本题的难点．