Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的顶点O在坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，顶点A在第一象限．以AC为轴将△AOC翻折得到△ACB，然后将△ACB绕点C逆时针旋转60°，得到△A′CB′．已知OA=4cm，∠OAC=30°．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）连结OA′，试探究四边形A′B′CO是否是等腰梯形，说说你的理由；
（3）动点P、Q分别从A′、B′两点按顺时针方向同时沿△A′B′C的边运动，当点P运动到点C时，P、Q两点即停止．点P、Q的运动速度分别为2cm/秒、1cm/秒．设P点的运动时间为t（秒），△PB′Q的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并探索是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）在直角△AOC中，利用直角三角形的性质以及三角函数即可求得OC，AC的长度，则OB的长即可求得，则三点的坐标可以得到；
（2）首先证明△BCB'是等边三角形，证明A'B'∥OC，设A′B′和y轴以及OA分别交于点M、N，证明△A′MO≌△B′NC，得到OA′=B′C，从而证明四边形A′B′CO是等腰梯形；
（3）P、Q分别到达B′和C所用的时间都是4÷2=2秒，P从B′到C的时间是2÷2=1秒．则分0＜t≤2和2＜t≤3两种情况分别求得函数的解析式，求得最大值即可．

解答：解：（1）∵在直角△OAC中，OA=4cm，∠OAC=30°，
∴OC=

1

2

OA=

1

2

×4=2，AC=OA•cos30°=2

3

，
∴OB=2OC=4，
∴A的坐标是（2，2

3

），C的坐标是（2，0），B的坐标是（4，0）；

（2）四边形A′B′CO是等腰梯形．
理由如下：
∵△BCB'中，CB=CB'，∠BCB'=60°，
∴△BCB'是等边三角形，
∴∠OBB'=60°，
又∵直角△A'B'C中，∠CA'B'=∠OAC=30°，
∴∠A'B'C=60°，
∴∠CBB'=∠A'B'C，
∴A'B'∥OC，
∵直角△ABC中，∠CAB=∠OAC=30°，
∴B′是AB的中点，
∴B′的坐标是（3，

3

），
则MB′=3，NB=1，
又∵A′B′=2B′C′=2OC=4，
∴A′M=A′B′-MB′=1，
∴△A′MO和△B′NC中，

A′M=B′N ∠A′MO=∠B′NC OM=CN

，
∴△A′MO≌△B′NC，
∴OA′=B′C．
又∵A'B'∥OC，
∴四边形A′B′CO是等腰梯形；

（3）P、Q分别到达B′和C所用的时间都是4÷2=2秒，
P从B′到C的时间是2÷2=1秒．
则当0＜t≤2时，B′P=4-2t，B′Q=t，且∠PB′Q=60°，
∴S_△PB′Q=

1

2

B′P•B′Q•sin60°=

1

2

t（4-2t）×

3

2

=-

3

2

t²+

3

t；
此时，当x=

3

3

=1时，最大值是：

3

2

；
当2＜t≤3时，P在B′C上，Q在A′C上，则CP=4+2-2t=6-2t，
CQ=t-2，
则S_△PB′Q=

1

2

CP•CQ=

1

2

（6-2t）（t-2），即S_△PB′Q=-t²+5t-6，
则当t=

5

2

时，S的最大值是：

1

4

．
总之，当t=1时，最大值是：

3

2

．

点评：本题是等腰三角形的判定，二次函数以及全等三角形的判定与性质的综合应用，注意到P、Q分别到达B′和C所用的时间相同是关键．