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如图,已知A、B两点的坐标分别为(2
3
,O)、(0,2),P是△AOB外接圆上的一点,且∠AOP=45°,
(1)求点P的坐标;
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(2)连BP、AP,在PB上任取一点E,连AE,将线段AE绕A点顺时针旋转90°到AF,连BF,交AP于点G,当E在线段BP上运动时,(不与B、P重合),求
BE
PG

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分析:(1)连接BP、AP,过P作x轴的垂线,设垂足为Q;由圆周角定理知AB是⊙O的直径,而∠AOP=45°,
得出OP平分∠AOB,则弧BP=弧AP,由此可证得△ABP是等腰Rt△;易求得直径AB的长,即可求出AP的值;在Rt△APQ中,易知PQ=OQ,可用OQ表示出BQ,由勾股定理即可求得OQ、PQ的长,即可得出P点的坐标.
(2)先过F作FK⊥AP,再证明△AFK≌△EAP和△GFK≌△CBP,最后解出结果即可.
解答:解:(1)连接AP、BP,过P作PQ⊥x轴于Q;
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∵∠AOB=90°,
∴AB是⊙O的直径,则∠APB=90°;
Rt△AOB中,OB=2,OA=2
3
,由勾股定理,得AB=4;
∵∠AOP=45°,
∴OP平分∠AOB,
∴弧BP=弧AP;
则△ABP是等腰Rt△,AP=2
2

Rt△POQ中,∠POQ=45°,则PQ=OQ;
设PQ=OQ=x,则AQ=2
3
-x;
Rt△APQ中,由勾股定理得:
AP2=AQ2+PQ2,即(2
3
-x)2+x2=8,
解得x=
3
+1,x=
3
-1(舍去),
∵∠POA=45°,∠PQO=90°,
∴PQ=OQ=x=
3
+1;
即P点坐标为(
3
+l,
3
+1);

(2)过F作FK⊥AP,则△AFK≌△EAP,
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∴AK=PE,FK=AP=BP,
∴AP-AK=BP-PE,
∴PK=BE,
在△GFK和△GBP中,
∠FGK=∠PGB
∠FKG=∠BPG
FK=PB

∴△GFK≌△GBP,
∴PG=GK,
∴PG=
1
2
PK=
1
2
BE,
BE
PG
=2;
点评:此题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合应用能力;能够构建出与已知和所求相关的直角三角形是解答此题的关键.
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1x
上,点C的横坐标比点A的横坐标多2,AB⊥x轴,CD⊥x轴,CE⊥AB,垂足分别是B、D、E.
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(2)当A的横坐标是n时,求△AEC的面积Sn
(3)当A的横坐标分别是1,2,…,10时,△AEC的面积相应的是S1,S2,…,S10,求S1+S2+…+S10的值.

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11
3
11
3

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3
,0)、(0,2),P是△AOB外接圆上的一点,且∠AOP=45°,则点P的坐标为
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+1,
3
+1)或(
3
-1,1-
3
3
+1,
3
+1)或(
3
-1,1-
3

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