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4.如图①,∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处,∠QPN=α,将∠QPN绕点P旋转,旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F(点F与点C,D不重合).
(1)如图①,当α=90°时,DE,DF,AD之间满足的数量关系是DE+DF=AD;
(2)如图②,将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形,其他条件不变,当α=60°时,(1)中的结论变为DE+DF=$\frac{1}{2}$AD,请给出证明;
(3)在(2)的条件下,若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E,其他条件不变,探究在整个运动变化过程中,DE,DF,AD之间满足的数量关系,直接写出结论,不用加以证明.

分析 (1)利用正方形的性质得出角与线段的关系,易证得△APE≌△DPF,可得出AE=DF,即可得出结论DE+DF=AD,
(2)取AD的中点M,连接PM,利用菱形的性质,可得出△MDP是等边三角形,易证△MPE≌△FPD,得出ME=DF,由DE+ME=$\frac{1}{2}$AD,即可得出DE+DF=$\frac{1}{2}$AD,
(3)①当点E落在AD上时,DE+DF=$\frac{1}{2}$AD,②当点E落在AD的延长线上时,DF-DE=$\frac{1}{2}$AD.

解答 解:(1)正方形ABCD的对角线AC,BD交于点P,
∴PA=PD,∠PAE=∠PDF=45°,
∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°,
∴∠APE=∠DPF,
在△APE和△DPF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠DPF}\\{PA=PD}\\{∠PAE=∠PDF}\end{array}\right.$
∴△APE≌△DPF(ASA),
∴AE=DF,
∴DE+DF=AD;
(2)如图②,取AD的中点M,连接PM,

∵四边形ABCD为∠ADC=120°的菱形,
∴BD=AD,∠DAP=30°,∠ADP=∠CDP=60°,
∴△MDP是等边三角形,
∴PM=PD,∠PME=∠PDF=60°,
∵∠PAM=30°,
∴∠MPD=60°,
∵∠QPN=60°,
∴∠MPE=∠FPD,
在△MPE和△DPF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠PME=∠PDF}\\{PM=PD}\\{∠MPE=∠FPD}\end{array}\right.$
∴△MPE≌△DPF(ASA)
∴ME=DF,
∴DE+DF=$\frac{1}{2}$AD;
(3)如图,

在整个运动变化过程中,
①当点E落在AD上时,DE+DF=$\frac{1}{2}$AD;
②当点E落在AD的延长线上时,DF-DE=$\frac{1}{2}$AD.
(如图3,取AD中点M,连接PM,证明△MPE≌△DPF)

点评 本题主要考查了四边形的综合题,涉及全等三角形,正方形及菱形的性质,解答本题的关键是设计三角形全等,巧妙地借助两个三角形全等,寻找所求线段与线段之间的等量关系.

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