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    如图，BP，CP分别是△ABC的∠ABC，∠ACB的内角或相邻外角平分线，请你根据下面的三种情形分别画出点P到△ABC三边所在的直线的距离．

    答案：
    解析：

    如图：


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    科目：初中数学 来源： 题型：

    探索下列∠A与∠P之间的关系，并说明理由．
    （1）如图①，BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB；
    （2）如图②，BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB的补角：
    （3）如图③，BP平分∠ABC的补角、CP平分∠ACB的补角．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，请你探索∠A和∠P的数量关系．
    解：∵BP平分∠ABC（已知）
    ∴∠PBC=
    1
    2
    ∠ABC （
    角平分线的定义
    角平分线的定义
    ）．
    同理可得∠PCB=
    1
    2
    ∠ACB
    ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°（
    三角形的内角和等于180°
    三角形的内角和等于180°
    ）
    ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB （等式的性质）
    =180°-
    1
    2
    （∠ABC+∠ACB ） （
    等量代换
    等量代换
    ）
    =180°-
    1
    2
    （180°-∠
    A
    A
    ）
    =90°+
    1
    2
    ∠
    A
    A
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图①，BO、CO分别为∠ABC和∠ACB的平分线，我们易得∠BOC=90°+
    12
    ∠A（不必证明，本题可直接运用）；在图②中，当BO′、CO′分别为∠ABC和∠ACB的外角平分线时，求∠BO′C与∠A的数量关系．我们可以利用“转化”的思想，将未知的∠BO′C转化为已知的∠BOC：如图②，作BO、CO平分∠ABC和∠ACB．

    （1）在图②中存在如图③的基本图形：点A、B、D在同一直线上，且BO、BO′分别平分∠ABC和∠DBC，试证明：BO⊥BO′；
    （2）试直接利用上述基本图形的结论，猜想并证明图②中∠BO′C与∠A的数量关系；
    （3）如图④，BP、CP分别为内角∠ABC和外角∠ACF的平分线，试运用上述转化的思想猜想并证明∠BPC与∠A的数量关系．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    如图①，BO、CO分别为∠ABC和∠ACB的平分线，我们易得∠BOC=90°+数学公式∠A（不必证明，本题可直接运用）；在图②中，当BO′、CO′分别为∠ABC和∠ACB的外角平分线时，求∠BO′C与∠A的数量关系．我们可以利用“转化”的思想，将未知的∠BO′C转化为已知的∠BOC：如图②，作BO、CO平分∠ABC和∠ACB．

    （1）在图②中存在如图③的基本图形：点A、B、D在同一直线上，且BO、BO′分别平分∠ABC和∠DBC，试证明：BO⊥BO′；
    （2）试直接利用上述基本图形的结论，猜想并证明图②中∠BO′C与∠A的数量关系；
    （3）如图④，BP、CP分别为内角∠ABC和外角∠ACF的平分线，试运用上述转化的思想猜想并证明∠BPC与∠A的数量关系．

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