Question

如图，割线ABC与⊙O相交于B、C两点，D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG=∠AGD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）如果AB=2，AD=4，EG=2，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OD．
∵E为BC的中点，
∴OE⊥BC于F．
∴∠AGD+∠ODE=∠EGF+∠OED=90°．（2分）
则OD=OE，
∴∠ODE=∠OED．（3分）
∵∠AGD=∠ADG，
∴∠ADG+∠ODE=90°．
即OD⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．（5分）

（2）∵AD=4，AB=2，AD²=AB•AC；
∴AC=8．（6分）
∵AD=AG，
∴BG=2，CG=4．
∵EG=2，EG•GD=BG•CG，
∴DG=4，（7分）
∴AD=DG=AG．
∴∠ADG=60°．
作OH⊥ED于H，则∠EOH=60°，
在Rt△OEH中，EH=

1

2

（EG+GD）=3．
∴OE=

EH

sin60°

=2

3

．
即⊙O的半径为2

3

．（8分）