【题目】在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax﹣a为抛物线(a、b、c为常数,a≠0)的“梦想直线”;有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”.
已知抛物线与其“梦想直线”交于A、B两点(点A在点B的左侧),与x轴负半轴交于点C.
(1)填空:该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ,点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;
(2)如图,点M为线段CB上一动点,将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”,求点N的坐标;
(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上,是否存在点F,使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E、F的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(﹣2, );(1,0);(2)N点坐标为(0, ﹣3)或(, );(3)E(﹣1,﹣)、F(0, )或E(﹣1,﹣)、F(﹣4, ).
【解析】试题分析:(1)由梦想直线的定义可求得其解析式,联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B的坐标;
(2)当N点在y轴上时,过A作AD⊥y轴于点D,则可知AN=AC,结合A点坐标,则可求得ON的长,可求得N点坐标;当M点在y轴上即M点在原点时,过N作NP⊥x轴于点P,由条件可求得∠NMP=60°,在Rt△NMP中,可求得MP和NP的长,则可求得N点坐标;
(3)当AC为平行四边形的一边时,过F作对称轴的垂线FH,过A作AK⊥x轴于点K,可证△EFH≌△ACK,可求得DF的长,则可求得F点的横坐标,从而可求得F点坐标,由HE的长可求得E点坐标;当AC为平行四边形的对角线时,设E(﹣1,t),由A、C的坐标可表示出AC中点,从而可表示出F点的坐标,代入直线AB的解析式可求得t的值,可求得E、F的坐标.
(1)∵抛物线,∴其梦想直线的解析式为,联立梦想直线与抛物线解析式可得: ,解得: 或,∴A(﹣2, ),B(1,0),故答案为: ;(﹣2, );(1,0);
(2)当点N在y轴上时,△AMN为梦想三角形,如图1,过A作AD⊥y轴于点D,则AD=2,在中,令y=0可求得x=﹣3或x=1,∴C(﹣3,0),且A(﹣2, ),∴AC= =,由翻折的性质可知AN=AC=,在Rt△AND中,由勾股定理可得DN= = =3,∵OD=,∴ON=﹣3或ON=+3,当ON=+3时,则MN>OD>CM,与MN=CM矛盾,不合题意,∴N点坐标为(0, ﹣3);
当M点在y轴上时,则M与O重合,过N作NP⊥x轴于点P,如图2,在Rt△AMD中,AD=2,OD=,∴tan∠DAM==,∴∠DAM=60°,∵AD∥x轴,∴∠AMC=∠DAO=60°,又由折叠可知∠NMA=∠AMC=60°,∴∠NMP=60°,且MN=CM=3,∴MP=MN=,NP=MN=,∴此时N点坐标为(, );
综上可知N点坐标为(0, ﹣3)或(, );
(3)①当AC为平行四边形的边时,如图3,过F作对称轴的垂线FH,过A作AK⊥x轴于点K,则有AC∥EF且AC=EF,∴∠ACK=∠EFH,在△ACK和△EFH中,∵∠ACK=∠EFH,∠AKC=∠EHF,AC=EF,∴△ACK≌△EFH(AAS),∴FH=CK=1,HE=AK=,∵抛物线对称轴为x=﹣1,∴F点的横坐标为0或﹣2,∵点F在直线AB上,∴当F点横坐标为0时,则F(0, ),此时点E在直线AB下方,∴E到y轴的距离为EH﹣OF=﹣=,即E点纵坐标为﹣,∴E(﹣1,﹣);
当F点的横坐标为﹣2时,则F与A重合,不合题意,舍去;
②当AC为平行四边形的对角线时,∵C(﹣3,0),且A(﹣2, ),∴线段AC的中点坐标为(﹣2.5, ),设E(﹣1,t),F(x,y),则x﹣1=2×(﹣2.5),y+t=,∴x=﹣4,y=﹣t,代入直线AB解析式可得﹣t=﹣×(﹣4)+,解得t=﹣,∴E(﹣1,﹣),F(﹣4, );
综上可知存在满足条件的点F,此时E(﹣1,﹣ )、F(0, )或E(﹣1,﹣)、F(﹣4, ).
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【题目】已知线段, 和,求作△ABC,使, , 边上的中线,作法合理的顺序依次为( )
①延长到B,使;②连接;③作△ADC,使, , .
A. ③①② B. ①②③ C. ②③① D. ③②①
【答案】A
【解析】试题分析:需先作△ADC,进而延长,连接即可.
根据已知条件,能够确定的三角形是△ADC,故先作△ADC,使DC=a,AC=b,AD=m;再延长CD到B,使BD=CD;连接AB;即可得△ABC,
则作法的合理顺序为③②①,故选A.
考点:本题考查的是基本作图
点评:解答本题的关键是熟练掌握已知三角形的两边和其中一边上的中线作三角形的做法.
【题型】单选题
【结束】
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【题目】如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图,则说明的依据是( )
A. B. C. D.
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【题目】如图四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,AB=BC+AD,∠DAC=45°,E为CD上一点,且∠BAE=45°.若CD=4,则△ABE的面积为( )
A. B. C. D.
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【题目】去冬今春,我市部分地区遭受了罕见的旱灾,“旱灾无情人有情”.某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件,其中饮用水比蔬菜多80件.
(1)求饮用水和蔬菜各有多少件?
(2)现计划租用甲、乙两种货车共8辆,一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学.已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件,每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件.则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案?请你帮助设计出来;
(3)在(2)的条件下,如果甲种货车每辆需付运费400元,乙种货车每辆需付运费360元.运输部门应选择哪种方案可使运费最少?最少运费是多少元?
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【题目】某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同.
(1)求该种水果每次降价的百分率;
(2)从第一次降价的第1天算起,第x天(x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1≤x<15)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大?
(3)在(2)的条件下,若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元,则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元?
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【题目】观察下列各式
(x﹣1)(x+1)=x2﹣1,
(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1,
(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1,
……
(1)根据以上规律,则(x﹣1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)= .
(2)你能否由此归纳出一般性规律:(x﹣1)(xn+xn﹣1+…+x+1)= .
(3)根据以上规律求1+3+32+…+334+335的结果
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【题目】如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的自然数叫做 “和谐数”.例如:自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是:6、4、7、4、6,从个位到最高排出的一串数字也是:6、4、7、4、6,所64746是“和谐数”.再如:33,181,212,4664,…,都是“和谐数”.
(1)请你直接写出3个四位“和谐数”,猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除,并说明理由;[来。
(2) 已知一个能被11整除的三位“和谐数”,设个位上的数字为x(,x为自然数),十位上的数字为y,求y与x的函数关系式.
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