Question

13．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．
（1）当k为何值时，△ABC是直角三角形；
（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）先利用因式分解法求出方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两根为x₁=k+1，x₂=k+2．由于k+1＜k+2，得出△ABC是直角三角形时，斜边长不可能是k+1．再分两种情况进行讨论：①如果（k+1）²+5²=（k+2）²，且k+2＞5，那么△ABC是直角三角形；②如果（k+1）²+（k+2）²=5²，且k+2＜5，那么△ABC是直角三角形；
（2）根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后两种情况相同，由根与系数的关系得出k的值即可．

解答 解：（1）解方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0，
得x₁=k+1，x₂=k+2．
∵k+1＜k+2，
∴△ABC是直角三角形时，斜边长不可能是k+1．
①如果（k+1）²+5²=（k+2）²，且k+2＞5，那么△ABC是直角三角形，
解得k=11，符合题意；
②如果（k+1）²+（k+2）²=5²，且k+2＜5，那么△ABC是直角三角形，
解得k=2，符合题意；
综上所述，当k为11或2时，△ABC是直角三角形；

（2）∵△ABC是等腰三角形，
∴当AB=AC时，△=b²-4ac=0，
∴（2k+3）²-4（k²+3k+2）=0，
解得k不存在；
当AB=BC时，即AB=5，
∴5+AC=2k+3，5AC=k²+3k+2，
解得k=3或4，
∴AC=4或6；
当BC=AC时，即AC=5，同理求得AB=4或6；
∴△ABC的周长为14或16．

点评 本题考查了一元二次方程的解法，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，根的判别式，根与系数的关系，利用分类讨论是解题的关键．