Question

【题目】在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10，E是AD的一点，且AE＝2，M是AB上一点，射线ME交CD的延长线于点F，EG⊥ME交BC于点G，连接MG，FG，FG交AD于点N．

（1）当点M为AB中点时，则DF＝　 　，FG＝　 　．（直接写出答案）

（2）在整个运动过程中，的值是否会变化，若不变，求出它的值；若变化，请说明理由．

（3）若△EGN为等腰三角形时，请求出所有满足条件的AM的长度．

Answer 1

【答案】（1）8， ；（2）在整个运动过程中，的值不会变化，理由详见解析；（3）当AM＝﹣1+或1或时，△EGN为等腰三角形．

【解析】

（1）如图1，过G作GH⊥AD于H，先证明AE＝AM＝2，得∠AEM＝∠DEF＝45°，则DF＝DE＝8，再求CG的长，根据勾股定理计算FG的长；

（2）根据ME⊥EG，证明△AME∽△HEG，△EHG∽△FDE，可得tan∠EGM＝＝tan∠EFG＝，可得∠EGM＝∠EFG．可得∠MGF＝90°，由三角函数定义可得结论；

（3）设AM＝m，则BM＝4﹣m，DF＝4m，证明△MBG∽△GCF，表示CG＝8﹣2m，BG＝2+2m．分三种情况进行讨论，根据平行线分线段成比例定理和三角函数定义列等式可得结论．

（1）如图1，过G作GH⊥AD于H，

∵点M为AB中点，AB＝4，

∴AM＝2，

∵AE＝2，

∴AE＝AM＝2，

∴DE＝10﹣2＝8，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠CDA＝90°，

∴∠AEM＝∠DEF＝45°，

∴DF＝DE＝8，

∵EG⊥ME，

∴∠MEG＝90°，

∴∠HEG＝∠EGH＝45°，

∴GH＝EH＝4，

∴CG＝DH＝10﹣2﹣4＝4，

Rt△FGC中，FG2＝CG2+CF2，

FG＝；

（2）在整个运动过程中，的值不会变化，理由是：

如图1，过点G作GH⊥AD于点H，

∵ME⊥EG，

∴△AME∽△HEG，△EHG∽△FDE，

∴，，

∴，，

∴∠EGM＝∠EFG．

∵∠EGF+∠EFG＝90°，

∴∠EGF+∠EGM＝90°，即∠MGF＝90°，

∴．

（3）设AM＝m，则BM＝4﹣m，DF＝4m，

∴CF＝4+4m．

由（2）得∠MGF＝90°，

∴△MBG∽△GCF，

∴，

∴，

∴CG＝8﹣2m，BG＝2+2m．

分三种情况：

ⅰ）当EG＝NG时，如图2，过点G作GH⊥AD于点H，则EH＝HN＝2m，

∴DN＝（8﹣2m）﹣2m＝8﹣4m．

∵DN∥CG，

∴，即，

∴m＝﹣1±，

解得m＝﹣1+或m＝﹣1﹣（舍去）．

∴AM＝﹣1；

ⅱ） 当EN＝NG时，∠NEG＝∠NGE．

∵AD∥BC，

∴∠NEG＝∠EGB，

∴∠EGB＝∠NGE．

如图3，过点E作EK⊥BC于点K，则KG＝8﹣（8﹣2m）＝2m，

∴，

∴，

∴m＝1．

ⅲ）当EN＝EG时，如图4，∠ENG＝∠EGN．

∵AD∥BC，

∴∠ENG＝∠DGC，

∴∠EGN＝∠DGC．

∴，

∴

∴．

综上所述：当AM＝﹣1+或1或时，△EGN为等腰三角形．