Question

5．如图，?OABC的顶点A的坐标为（3，0），∠COA=60°，D为边AB的中点，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象经过C、D两点，直线CD交y轴于点E，则OE的长为3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作CE⊥x轴于点E，过B作BF⊥x轴于F，过D作DM⊥x轴于M，设C的坐标为（x，$\sqrt{3}$x），表示出D的坐标，将C、D两点坐标代入反比例函数的解析式，解关于x的方程求出x即可得到点C、D的坐标，进而求得直线CD的解析式，最后计算该直线与y轴交点坐标即可得出结果．

解答 解：作CE⊥x轴于点E，则∠CEO=90°，
过B作BF⊥x轴于F，过D作DM⊥x轴于M，则BF=CE，DM∥BF，BF=CE，
∵D为AB的中点，
∴AM=FM，
∴DM=$\frac{1}{2}$BF，
∵∠COA=60°，
∴∠OCE=30°，
∴OC=2OE，CE=$\sqrt{3}$OE，
∴设C的坐标为（x，$\sqrt{3}$x），
∴AF=OE=x，CE=BF=$\sqrt{3}$x，OE=AF=x，DM=$\frac{1}{2}\sqrt{3}$x，
∵四边形OABC是平行四边形，A（3，0），
∴OF=3+x，OM=3+$\frac{1}{2}$x，
即D点的坐标为（3+$\frac{1}{2}$x，$\frac{1}{2}\sqrt{3}$x），
把C、D的坐标代入y=$\frac{k}{x}$得：k=x•$\sqrt{3}$x=（3+$\frac{1}{2}$x）•$\frac{1}{2}\sqrt{3}$x，
解得：x₁=2，x₂=0（舍去），
∴C（2，2$\sqrt{3}$），D（4，$\sqrt{3}$），
设直线CD解析式为：y=ax+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}=2a+b}\\{\sqrt{3}=4a+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{b=3\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线CD解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+3$\sqrt{3}$，
∴当x=0时，y=3$\sqrt{3}$，
∴E（0，3$\sqrt{3}$），即OE=3$\sqrt{3}$．
故答案为：3$\sqrt{3}$

点评 本题主要考查了平行四边形的性质、运用待定系数法求函数的解析式以及解直角三角形的应用．根据反比例函数图象经过C、D两点，得出关于x的方程是解决问题的关键．