Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点E是斜边AB上的一个动点，连接CE，过点B，C分别作BD∥CE，CD∥BE，BD与CD相交于点D．

（1）当CE⊥AB时，求证：四边形BECD是矩形；

（2）填空：

①当BE的长为______时，四边形BECD是菱形；

②在①的结论下，若点P是BC上一动点，连接AP，EP，则AP+EP的最小值为______．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①；②3．

【解析】

（1）根据矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明；

（2）①根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解；

②根据对称性：连接ED交BC于点P，此时AP+EP＝AD，最小，再过点D作DF垂直AC的延长线于点F，根据勾股定理即可求解．

如图所示：

（1）∵BD∥CE，CD∥BE，

∴四边形BDCE是平行四边形，

∵CE⊥AB，

∴∠BEC＝90°，

∴四边形BECD是矩形；

（2）①当BE的长为时，四边形BECD是菱形．理由如下：

连接ED，与BC交于点O，

∵四边形BDCE是平行四边形，

当BC和DE互相垂直平分时，四边形BDCE是菱形，

BO＝BC＝3，OE＝AC＝2，

∴根据勾股定理，得

BE＝＝＝．

故答案为．

②连接AD，与BC交于点P，连接PE，

此时PD＝PE，AP+EP最小，

∴AP+PE＝AP+PD＝AD，

过点D作DF垂直于AC的延长线于点F，

得矩形ODFC，

∴CF＝OD＝2，DF＝OC＝3，

∴AF＝AC+CF＝6，

∴在Rt△ADF中，根据勾股定理，得

AD＝＝＝3．

∴AP+EP的最小值为3．

故答案为3．