Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax＋3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点A的坐标为(－1,0)，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．

（1）填空：a＝ ，点B的坐标是 ；

（2）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当△MNF的周长取得最大值时，求FP＋PC的最小值；

（3）在（2）中，当△MNF的周长取得最大值时，FP＋PC取得最小值时，如图2，把点P向下平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得GQ′＝OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），(3,0)；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）将点A的坐标代入抛物线的表达式中可求出a，令y＝0可求出点B的坐标；

（2）通过配方法求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的表达式，设点，，利用等角的三角函数值相等求出，利用二次函数的性质可求出使△MNF的周长取得最大值时的m值，在x轴上取点，过F作CK的垂线段FG交y轴于点P，可得(FP＋PC )min＝FG，连接FC，FK，FK交y轴与点J，利用的面积计算求出FG；

（3）由（2）求出点Q的坐标，取AQ的中点G，△AOQ在旋转过程中，只需使AQ的中点G在坐标轴上即可满足GQ′＝OG，分四种情况进行求解．

解：（1）将点A(－1,0) 代入y＝ax2－2ax＋3中得，，

解得，，即y＝－x2＋2x＋3，

当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，

解得，，，

∴点B的坐标是(3,0)，

故答案为：－1，(3,0)；

（2）∵，

∴点D(1,4)，点C(0,3)，

设直线BD的表达式为，且经过点B(3,0)，点D(1,4)，

∴，

解得，，

∴，

设点，，

由图形可知，，

∵，，

∴，

∴，

，

，

，

∴当m＝2时，C△MNF最大，此时F(2,2)，HF＝2，

在x轴上取点，则∠OCK＝30°，过F作CK的垂线段FG交y轴于点P，此时，

∴(FP＋PC )min＝(FP＋PG)min＝FG，

连接FC，FK，FK交y轴与点J，

由点，点F(2,2)可求直线FK的表达式为，

∴点，，，

∴，即，

解得，，

∴当△MNF的周长取得最大值时，FP＋PC的最小值为；

（3）存在，

由（2）可知，，即点，

∵将点P向下平移个单位得到点Q，

∴点Q(0,2)，

在Rt△AOQ中，，，则，

取AQ的中点G，则有，

∴△AOQ在旋转过程中，只需使AQ的中点G在坐标轴上即可满足GQ′＝OG，

如图所示，当点G在y轴正半轴上时，过点Q′作Q′I⊥x轴，垂足为I，

∵∠GOQ'＝∠GQ'O，

∵，

∴∠GOQ'＝∠IQ'O，

∴∠IQ'O＝∠GQ'O，

∴设，

∴，

∴，即点，

同理可知，当点G在x轴正半轴上时，点，

当点G在y轴负半轴上时，点，

当点G在x轴负半轴上时，点，

综上，点Q′的坐标为，，，．