我们给出如下定义:如图2所示,若一个四边形的两组相邻两边分别相等,则称这个四边形为筝形四边形,把这两条相等的邻边称为这个四边形的筝边.
(1)写出一个你所学过的特殊四边形中是筝形四边形的图形的名称________;
(2)如图1,已知格点(小正方形的顶点)O(0,0),A(0,3),B(3,0),请你画出以格点为顶点,OA,OB为边的筝形四边形OAMB;
(3)如图2,在筝形ABCD,AD=CD,AB=BC,若∠ADC=60°,∠ABC=30°求证:2AB2=BD2.
(1)正方形或菱形 1分 (2) 3分 (3)解法一: 证明:联结AC,以点B为顶点,以BC为一边做∠CBM=60°,在MB上截取BE=BA,联结CE、AE、BD 4分 则△ADC和△BCE为等边三角形 ∴AC=CD,BC=CE,∠1=∠2=60° ∴∠1+∠4=∠2+∠4 即:∠BCD=∠ACE 5分 ∴△BDC≌△ACE ∴AE=BD 6分 在△ABE中,∠ABC=30° ∠3=60° ∴∠ABE=90° 7分 ∴AB2+BE2=AE2 ∵BC=BE,AE=BD ∴AB2+BC2=BD2 8分 ∵AB=BC ∴ 2AB2=BD2 9分 解法2: 过点B作BE⊥CD,交CD延长线于点E,联结BD 在△ABD和△BCD中 ∴△ABD≌△BCD ∴∠BDC=∠ADC=30° ∠DCB=∠ABC=15° ∴∠BCE=45° 在Rt△BCE和Rt△DBE中,设BE=x,则CE=x, 由勾股定理得:BC=CE=x ∵AB=BC ∴AB=x Rt△DBE中,∠BDC=30° 由勾股定理得:BD=2x ∴AB2=2x2 BD2=4x2 ∴2AB2=BD2 (其他解法可适当给分) (说明:以上答案仅供参考,若有不同解法,只要过程和解法都正确,可相应给分) |
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