Question

17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=9cm．M是CD的中点，P是BC边上的一动点（P与B，C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q．
（1）试说明△PCM≌△QDM．
（2）当点P在点B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）要证明△PCM≌△QDM，可以根据两个三角形全等四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS中的ASA．利用∠QDM=∠PCM，DM=CM，∠DMQ=∠CMP即可得出；
（2）得出P在B、C之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出．

解答 （1）证明：∵AD∥BC
∴∠QDM=∠PCM
∵M是CD的中点，
∴DM=CM，
∵∠DMQ=∠CMP，
在△PCM和△QDM中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠QDM=∠PCM}\\{DM=CM}\\{∠DMQ=∠CMP}\end{array}\right.$，
∴△PCM≌△QDM（ASA）．

（2）解：当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ，
∵BC-CP=AD+QD，
∴9-CP=5+CP，
∴CP=（9-5）÷2=2．
∴当PC=2时，四边形ABPQ是平行四边形．

点评 本题考查了全等三角形、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键．