Question

【题目】如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题．

（1）在第n个图中，第一横行共_________ 块瓷砖，第一竖列共有_________ 块瓷砖；（均用含n的代数式表示）

（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数关系式；

（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；

（4）黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，问题（3）中，共花多少元购买瓷砖；

（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（n+3），（n+2）；（2）y=（n+3）（n+2）；（3）20；（4）1604元；（5）不存在，理由参见解析．

【解析】试题分析：（1）观察图形，找出规律即可；（2）第1个图形有4×3块瓷砖，第2个图形有5×4块瓷砖，第3个图形有6×5块瓷砖，所以可以推出瓷砖的总块数为y=（n+3）（n+2）；（3）当y=506时可以代入（1）中函数关系式求出n；（4）和（1）一样可以推出白瓷砖的总块数为y'= n（n+1），然后可以推出黑瓷砖数目，再根据已知条件即可计算出钱数；（5）利用（4）的结论计算即可判断是否存在．

试题解析：（1）观察图形得知：当n=1时，横行为1+3=4块，竖行有1+2=3块，当n=2时，横行为2+3=5块，竖行有2+2=4块，当n=3时，横行为3+3=6块，竖行有3+2=5块，其规律是每﹣横行有（n+3）块，每﹣竖列有（n+2）块．（2）当n=1时，y=（1+3）（1+2）=12，当n=2时，y=（2+3）（2+2）=20，当n=3时，y=（3+3）（3+2）=30，所以y与n的函数关系式为：y=（n+3）（n+2）；（3）由题意，得（n+3）（n+2）=506，整理得：n2+5n-500=0，解得：n=，即n1=20，n2=﹣25（舍去），所以n的值为20；（4）观察图形可知，每﹣横行有白砖（n+1）块，每﹣竖列有白砖n块，因而白砖总数是n（n+1）块，n=20时，白砖为20×21=420（块），黑砖数为506﹣420=86（块）．故总钱数为420×3+86×4=1260+344=1604（元）；（5）黑白砖总数为（n+2）（n+3）=n2+5n+6，当黑白砖块数相等时，有方程n（n+1）=（n2+5n+6）﹣n（n+1）．整理得n2﹣3n﹣6=0．解之得n1=，n2=．由于n1的值不是整数，n2的值是负数，故不存在黑白砖块数相等的情形．