Question

【题目】定义：在平面直角坐标系中，某个函数图象上任意两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），且x1≤x2，d=|y1-y2|．将这个函数图象在直线y=y1下方部分沿直线y=y1翻折，并将其向上平移d个单位，将这部分图象与原函数图象剩余部分的图象组成的新图象记为G，图象G对应的函数叫做这个函数的伴随函数．例如：点A（1，0）、B（2，1）在一次函数y=x-1的图象上，则它的伴随函数为．

（1）点A、B在直线y=-2x上，点A在第二象限，点B在x轴上．当d=2时，求函数y=-2x的伴随函数所对应的函数表达式．

（2）二次函数y=x2-2x-3的图象交x轴负半轴交于点A，点B在抛物线上，设点B的横坐标为m．

①当d=0时，求该抛物线的伴随函数的图象G与直线y=4在第一象限的交点坐标；

②若直线y=2与该抛物线的伴随函数的图象G有四个交点，直接写出m的取值范围．

（3）抛物线y=x2-2nx+n2-n-1与y轴交于点A，点B在点A的左侧抛物线上，且d=1，当该抛物线的伴随函数的图象G上的点到x轴距离的最小值为1时，直接写出n的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①图象G与直线y=4在第一象限的交点坐标为或（1，4）；②或；（3）n的值为-1或2．

【解析】

（1）点B在x轴上，故点B（0，0），d＝2，则点A的纵坐标为2，求出点A的坐标，进而求解；

（2）①d＝0，则m2﹣2m﹣3＝0，则m＝﹣1或m＝3，故B（3，0），即可求解；②d＝|m2﹣2m﹣3|＜2，即可求解；

（3）①当点A在y轴下方时，翻折前的函数与x轴有交点，故图象G上的点到x轴距离的最小值为0，不合题意；②当点A在y轴上方时，图象G的最低点为点A，即n2﹣n﹣1＝1，即可求解．

解：（1）∵点B在x轴上，

故点B（0，0），

∵d=2，则点A的纵坐标为2，

故2=-2x，

解得：x=-1，

故A（-1，2），

设翻折后的函数表达式为：y=2x+b，

将点A的坐标代入上式得：2=-2+b，

解得：b=4，

故翻折部分平移后函数的表达式为：y=2x+4+d=2x+6，

故伴随函数的表达式为：；

（2）y=x2-2x-3，令y=0，则x=-1或3，

故点A的坐标为：（-1，0），

设：B（m，m2-2m-3），

①d=0，则m2-2m-3=0，

∴m=-1或m=3，

∴B（3，0），

∴伴随函数为；

当x＜-1或x＞3，y=4=x2-2x-3，

解得：（舍去负值）；

当-1≤x≤3时，y=4=-x2+2x+3，

解得：x=1；

∴图象G与直线y=4在第一象限的交点坐标为：或（1，4）；

②d=|m2-2m-3|＜2，

∴-2＜m2-2m-3＜2，

∴或；

（3）y=x2-2nx+n2-n-1，

令x=0，则y=n2-n-1，

故点A（0，n2-n-1）；

①当点A在y轴下方时，

翻折前的函数与x轴有交点，

故图象G上的点到x轴距离的最小值为0，不合题意；

②当点A在y轴上方时，

图象G的最低点为点A，即n2-n-1=1，

解得：n=-1或2，

故n的值为-1或2．