如图1,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,且OA=2,OC=1,矩形对角线AC、OB相交于E,过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H.
(1)①直接写出点E的坐标: (1,) .
②求证:AG=CH.
(2)如图2,以O为圆心,OC为半径的圆弧交OA与D,若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F,求直线GH的函数关系式.
(3)在(2)的结论下,梯形ABHG的内部有一点P,当⊙P与HG、GA、AB都相切时,求⊙P的半径.
考点:
切线的判定与性质;一次函数综合题;全等三角形的判定与性质;勾股定理;矩形的性质;相似三角形的判定与性质。
专题:
计算题;证明题。
分析:
(1)①根据矩形的性质和边长即可求出E的坐标;②推出CE=AE,BC∥OA,推出∠HCE=∠EAG,证出△CHE≌△AGE即可;
(2)连接DE并延长DE交CB于M,求出DD=OC=OA,证△CME≌△ADE,求出CM=AD=1,推出四边形CMDO是矩形,求出MD切⊙O于D,设CH=HF=x,推出(1-x)2+()2=(+x)2,求出H、G的坐标,设直线GH的解析式是y=kx+b,把G、H的坐标代入求出即可;
(3)连接BG,证△OCH≌△BAG,求出∠CHO=∠AGB,证△HOE≌△GBE,求出∠OHE=∠BGE,得出BG平分∠FGA,推出圆心P必在BG上,过P做PN⊥GA,垂足为N,根据△GPN∽△GBA,得出,设半径为r,代入求出即可.
解答:
(1)①解:E的坐标是:(1,),
故答案为:(1,);
②证明:∵矩形OABC,
∴CE=AE,BC∥OA,
∴∠HCE=∠EAG,
∵在△CHE和△AGE中
,
∴△CHE≌△AGE,
∴AG=CH.
(2)解:连接DE并延长DE交CB于M,
∵DD=OC=1=OA,
∴D是OA的中点,
∵在△CME和△ADE中
,
∴△CME≌△ADE,
∴CM=AD=2-1=1,
∵BC∥OA,∠COD=90°,
∴四边形CMDO是矩形,
∴MD⊥OD,MD⊥CB,
∴MD切⊙O于D,
∵得HG切⊙O于F,E(1,),
∴可设CH=HF=x,FE=ED==ME,
在Rt△MHE中,有MH2+ME2=HE2
即(1-x)2+()2=(+x)2,
解得x=,
∴H(,1),OG=2-=,
又∵G(,0),
设直线GH的解析式是:y=kx+b,
把G、H的坐标代入得:0=b,且1=k+b,
解得:k=-,b=,
∴直线GH的函数关系式为y=-.
(3)解:连接BG,
∵在△OCH和△BAG中
,
∴△OCH≌△BAG,
∴∠CHO=∠AGB,
∵∠HCO=90°,
∴HC切⊙O于C,HG切⊙O于F,
∴OH平分∠CHF,
∴∠CHO=∠FHO=∠BGA,
∵△CHE≌△AGE,
∴HE=GE,
在△HOE和△GBE中
,
∴△HOE≌△GBE,
∴∠OHE=∠BGE,[来源:学科网]
∵∠CHO=∠FHO=∠BGA,
∴∠BGA=∠BGE,
即BG平分∠FGA,
∵⊙P与HG、GA、AB都相切,
∴圆心P必在BG上,
过P做PN⊥GA,垂足为N,
∴△GPN∽△GBA,
∴,
设半径为r,
=,
解得:r=,
答:⊙P的半径是.
点评:
本题综合考查了矩形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定,切线的性质和判定,一次函数和勾股定理等知识点,本题综合性比较强,难度偏大,但是也是一道比较好的题目.
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科目:初中数学 来源:同步轻松练习 八年级 数学 上 题型:059
学校阅览室有能坐4人的方桌,如果多于4人,就把方桌拼成一行,2张方桌拼成一行能坐6人(如图)
(1)按照这种规定填写下表:
(2)根据表中的数据,将s作为纵坐标,n作为横坐标,在如图所示的平面直角坐标系中找出相应各点.
(3)请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗?如果在某一函数图象上,求出该函数的解析式,并利用你探求的结果,求出当n=10时,s的值.
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科目:初中数学 来源:2013-2014学年北京海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷(解析版) 题型:解答题
阅读下面的材料:
小明在研究中心对称问题时发现:
如图1,当点为旋转中心时,点绕着点旋转180°得到点,点再绕着点旋转180°得到点,这时点与点重合.
如图2,当点、为旋转中心时,点绕着点旋转180°得到点,点绕着点旋转180°得到点,点绕着点旋转180°得到点,点绕着点旋转180°得到点,小明发现P、两点关于点中心对称.
(1)请在图2中画出点、, 小明在证明P、两点关于点中心对称时,除了说明P、、三点共线之外,还需证明;
(2)如图3,在平面直角坐标系xOy中,当、、为旋转中心时,点绕着点旋转180°得到点;点绕着点旋转180°得到点;点绕着点旋转180°得到点;点绕着点旋转180°得到点. 继续如此操作若干次得到点,则点的坐标为(),点的坐为.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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