Question

（1997•山西）如图，已知△ABC，⊙O₁是它的外接圆，与⊙O₁内切于A点的⊙O₂交AB于F，交AC于G，FE⊥BC于E，GH⊥BC于H，AD是△ABC的高，交FG于M，且AD=6，BC=8．
（1）求证：四边形FEHG是矩形；
（2）设FE=x，写出矩形FEHG的面积y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）当矩形FEHG的面积是△ABC面积的一半时，两圆的半径有什么关系？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）要证四边形FEHG为矩形，已知条件有垂直，只需证明四边形为平行四边形，而已知能得出FE与GH平行，只需证FG平行于EH，利用同位角相等两直线平行来证，即要得到∠AGF=∠C，作出两圆的公切线，利用弦切角等于所夹弧所对的圆周角即可得证；
（2）要写出矩形FEHG的面积y与x之间的函数关系式，EF=x，只需用x表示出FG，然后利用矩形的面积公式即可列出；
（3）当矩形FEHG的面积是△ABC面积的一半时，可添加半径，连心线从中找出之间的联系，得出半径间的关系，证明即可．

解答：（1）证明：过P作两圆的公切线PQ，如图所示，
∴∠PAB=∠AGF，∠PAB=∠C，
∴∠AGF=∠C，
∴FG∥BC，
∵FE⊥BC，GH⊥BC，
∴FE∥GH，
∴四边形FEHG为平行四边形，
∵∠FEC=90°，
则四边形FEHG为矩形；
（2）解：∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴∠AMG=∠ADC=90°，
∵EF=MD，
∴AM=AD-MD=AD-EF，
∴

FG

BC

=

AM

AD

，
∵EF=x，矩形FEHG面积为y，AD=6，BC=8，
∴

FG

8

=

6-x

6

，即FG=

4

3

（6-x），
则y=

4

3

x（6-x）=-

4

3

x²+8x（0＜x＜6）；
（3）解：∵S_△ABC=

1

2

AD•BC=24，矩形FEHG的面积是△ABC面积的一半，
∴-

4

3

x²+8x=

1

2

×24，即（x-3）²=0，
解得：x₁=x₂=3，
即当矩形FEHG的面积是△ABC面积的一半时，FE=MD=3，则AM=

1

2

AD，
证明：连接O₂F，O₁B，O₁A，则O₂必然在O₁A上，
∵AO₁=BO₁，∴∠O₁AB=∠O₁BA，
∵AO₂=FO₂，∴∠O₂AB=∠O₂FA，
∴∠O₂FA=∠O₂BA，
∴FO₂∥BO₁，
∴

O2F

O1B

=

AF

AB

=

AM

AD

=

1

2

，
则AM=

1

2

AD．

点评：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，切线的性质，相似是三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线等分线段定理，是一道综合性较强的压轴题．