Question

【题目】如图，A(2，1)，B(2，0)，C为y轴上一动点，过A，C两点的抛物线为：y＝ax2+bx+n(a≠0，a≠﹣1)，直线OA与直线BC交于点P，

(1)若n＝1，且抛物线恰好也过P点，直接写出抛物线顶点坐标为：(_____，______)

(2)当抛物线同时经过A，C，P三点时，此时P必为该抛物线的顶点，请以n＝2为例验证上述结论的正确性．

(3)若抛物线与直线BC有唯一交点C，

①求a的值；并求当C沿y轴向上运动时，其顶点同时向下运动所对应n的取值范围；

②设过B另有一直线(与BC、AB不重合)，也与抛物线仅有一个交点，设为D，经探究发现：无论C在y轴上如何运动，直线CD一定经过一个确定不动点Q．请直接写出该不动点Q的坐标．

Answer 1

【答案】(1)1，；(2)证明见解析；(3)①a＝，n≥2；②Q(2，2)．

【解析】

（1）待定系数法求直线BC解析式，直线OA解析式，解方程组求得点P坐标，待定系数法求抛物线解析式，化为顶点式即可；

（2）由B（2，0），C（0，2）可得直线yBC=-2x+2，解方程组求得交点P坐标，代入抛物线解析式即可求得a，b；配方法将抛物线解析式化为顶点式即可得顶点坐标；

（3）①由y=ax2+bx+n过点A（2，1），可得y=ax2+（1-n-4a）x+n，与y=x+n联立并消去y，再由抛物线与直线BC有唯一交点C，可得△=1-4a=0，将a=代入抛物线解析式即可求得顶点纵坐标；进而可求得n的范围；

②由直线BD：y=px-2p与抛物线只有一个交点，可得n+2p=4，进而可求得D（4，4-n），再求得直线CD解析式为y=x+n，即可得：直线CD必定经过定点Q（2，2）．

(1)∵n＝1，B(2，0)，

∴C(0，1)

设直线BC解析式为y＝mx+n，则，解得，

∴直线BC解析式为y＝-x+1，

∵A(2，1)，

∴直线OA解析式为y＝x，

解方程组，得.

∴P(1，)，

∵抛物线y＝ax2+bx+1(a≠0，a≠﹣1)经过A，P点，则，解得

∴抛物线解析式为y＝﹣x+1＝(x﹣1)2+

∴抛物线顶点为P(1，)，

故答案为：1，

(2)由(1)知：yOA＝x，

由B(2，0)，C(0，n)可得直线yBC＝x+n

当n＝2时，则，解得

∴P(，)，

将P(，)，A(2，1)代入y＝ax2+bx+2，得，解得，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x+2＝+

∴顶点坐标为(，)，即为P点；

(3)①由y＝ax2+bx+n过点A(2，1)，得4a+2b+n＝1，则b＝(1﹣n﹣4a)，

∴y＝ax2+(1﹣n﹣4a)x+n

联立方程组，消去y整理得ax2+(1﹣4a)x＝0，

根据题意要抛物线与直线BC有唯一交点C，则△＝0，

∴1﹣4a＝0，

∴a＝，

此时，抛物线为：y＝=

其顶点纵坐标为：，

要C沿y轴向上运动时，其顶点同时向下运动，即要求上式随n的增大而减小，

∴n≥2；

②∵直线BD解析式为y＝px+q，将B(2，0)代入得2p+q＝0，

∴q＝﹣2p

∴直线BD解析式为y＝px﹣2p

联立方程组，消去y整理得x2﹣2(n+2p)x+4(n+2p)＝0，

根据题意要抛物线与直线BD有唯一交点C，则△＝0，

∴4(n+2p)2﹣16(n+2p)＝0，即(n+2p)(n+2p﹣4)＝0

∵n+2p≠0

∴n+2p＝4

即p＝

∴直线BD解析式为y＝x+n﹣4

∴D(4，4﹣n)

∵C(0，n)

∴直线CD解析式为y＝x+n，当x＝2时，y＝×2+n＝2

∴直线CD必定经过定点Q(2，2)．