Question

【题目】如图，已知中，AB=AC=10 cm，BC=8cm，点D是AB的中点，点E在AC上，AE=6 cm，点P在BC上以1 cm/s速度由B点向C点运动，点Q在AC上由A点向E点运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动.

（1）在运动过程中，若点Q速度为2 cm/s，则能否形成以为顶角的等腰三角形？若可以，请求出运动时间t， 若不可以，请说明理由；

（2）当点Q速度为多少时，能够使 与全等？

Answer 1

【答案】（1）t=2s时，△QPC能形成以为顶角的等腰三角形；（2）当点Q速度为cm/s时，能够使ΔBPD与ΔQCP全等．

【解析】

（1）设ts时△QPC是以为顶角的等腰三角形，则可知PB=tcm，PC=（8-t）cm，CQ=（10-2t）cm，由PC =CQ即可解决问题；

（2）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间，先求得点P、Q运动的时间，再求得点Q的运动速度．

解：（1）设ts时△QPC是以为顶角的等腰三角形，则PB=tcm，PC=（8-t）cm，CQ=（10-2t）cm，

∵△QPC是以为顶角的等腰三角形

∴PC=CQ，即8-t=10-2t，

解得：t=2s，

∵其中一点到达终点时，两点同时停止运动，8÷1=8s，6÷2=3s，

∴点P、Q的运动时间为3s，t=2s符合题意，

∴t=2s时，△QPC能形成以为顶角的等腰三角形；

（2）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，

设点P、Q的运动时间为t，则BP=t cm，PC=（8-t）cm，
∵AB=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点，
∴BD=×10=5cm，
①BD、PC是对应边时，∵△BPD与△CQP全等，
∴BD=PC，BP=CQ，
∴5=8-t，
解得t=3，

∴BP=CQ =3cm，

∴AQ=10-3=7cm，

∵点Q在AC上由A点向E点运动，AE=6 cm，

∴AQ不可能等于7cm，即不存在BD、PC是对应边时，△BPD与△CQP全等
②BD与CQ是对应边时，∵△BPD与△CPQ全等，
∴BD=CQ=5cm，BP=PC，AQ=10-5=5cm，
∴t=8-t，
解得t=4，

∴点Q速度为5÷4=cm/s．

即当点Q速度为cm/s时，能够使ΔBPD与ΔQCP全等．