Question

19．如图，二次函数y=ax²+bx+3的图象抛物线与其对称轴交于点（-1，m），与x轴交于点A和点B（2，0），与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的关系式；
（2）动点P从点B出发，沿x轴正方向以1个单位长度/秒作匀速运动，过点P作直线l∥BC交此抛物线的对称轴于点E，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，△PCE的面积为△OCB面积的7倍？
②当t=2时，将直线l绕点P旋转一周，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求对应的直线l的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用对称轴x=-1和B（2，0）列方程组求解即可；
（2）①求出直线BC的解析式y=$-\frac{3}{2}x+3$，因为PE∥BC，并且P（t+2，0），所以直线PE的解析式为：y=$-\frac{3}{2}x+\frac{3t}{2}+3$，然后用t表示出△PCE的面积，列方程求解；
②本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义．因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形．从而问题得解．注意：这样的切线有两条，如图2所示．

解答 解：（1）根据题意知，对称轴x=-1，图象过B（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=-1}\\{4a+2b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{3}{8}$，b=-$\frac{3}{4}$，
∴二次函数的关系式为：y=$-\frac{3}{8}{x}^{2}-\frac{3}{4}x+3$；
（2）①如图1，
∵直线BC过B（2，0），C（0，3），
∴直线BC的解析式y=$-\frac{3}{2}x+3$，
∵PE∥BC，并且P（t+2，0），
∴直线PE的解析式为：y=$-\frac{3}{2}x+\frac{3t}{2}+3$，
∴E（-1，$\frac{3t+9}{2}$）
又∵D（-1，0），C（0，3），P（t+2，0），
∴OE=$\frac{3t+9}{2}$，PD=t+3，OC=3，OP=t+2，OD=1，OB=2，
∴S_△PDE=$\frac{1}{2}•PD•DE$=$\frac{1}{2}•\frac{3t+9}{2}•（t+3）$=$\frac{3}{4}{t}^{2}+\frac{18}{4}t+\frac{27}{4}$，
S_△OPC=$\frac{1}{2}•OP•OC$=$\frac{1}{2}×（t+2）×3$=$\frac{3t}{2}+3$，
S_梯形OCDE=$\frac{1}{2}（OC+DE）•OD$=$\frac{3t+15}{4}$，
S_△OBC=3，
∴S△PCE=S_△PDE-S_△OPC-S_梯形OCDE=$\frac{3}{4}{t}^{2}+\frac{9}{4}t$，
当△PCE的面积为△OCB面积的7倍时，
$\frac{3}{4}{t}^{2}+\frac{9}{4}t$=3×7，
解得：t=4或t=-7（舍去）
∴当t为4时，△PCE的面积为△OCB面积的7倍；
②∵当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，第三个直角三角形以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点M与A、B点构成直角三角形，
∴当t=2时，P（4，0），以AB为直径作⊙D，圆心为D．过P点作⊙D的切线，这样的切线有2条．
如图2，连接DM，过M作MN⊥x轴于点N，
∵A（-4，0），B（2，0），
∴D（-1，0），⊙D半径DM=DB=3．
又∵DP=5，
∴在Rt△MPD中，
MP=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，sin∠MDP=$\frac{4}{5}$，cos∠MDP=$\frac{3}{5}$．
在Rt△DMN中，MN=MD•sin∠MDP=3×$\frac{4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
DN=MD•cos∠MDP=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$，
则ON=DN-OD=$\frac{4}{5}$，
∴M点坐标为（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）
直线l过M（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$），E（4，0），
设直线l的解析式为y=kx+b，则有
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{5}k+b=\frac{12}{5}}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
所以直线l的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3．
同理，可以求得另一条切线的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-3．
综上所述，直线l的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3或y=$\frac{3}{4}$x-3．

点评 本题解题关键是二次函数、一次函数以及圆等知识的综合运用．难点在于第（3）问中对于“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”条件的理解，这可以从直线与圆的位置关系方面入手解决．本题难度较大，需要同学们对所学知识融会贯通、灵活运用．