Question

18．如图，已知?ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD、BC于E、F两点，连结BE，DF．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）当∠DOE=90°，试判断四边形BEDF形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法ASA得出△DOE≌△BOF即可；
（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵在?ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，AD∥BC，
∴∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EDO=∠OBF}&{\;}\\{DO=BO}&{\;}\\{∠EOD=∠FOB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；
（2）解：四边形BFDE为菱形，理由如下：
∵△DOE≌△BOF，
∴OE=OF，
又∵OB=OD
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵∠EOD=90°，
∴EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．