Question

15．在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B、C不重合），以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k＞1），EF∥BC．
（1）求∠D的度数；
（2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH．
①如图1，连接GH、AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；
②当Ⅰ的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP=AD，求k的值．

Answer 1

分析 （1）先判断△ABC是直角三角形，即可；
（2）①先判断AB∥DE，DF∥AC，得到平行四边形，再判断出是正方形；
②先判断面积最大时点D的位置，由△BGD∽△BAC，找出AH=8-$\frac{4}{3}$GA，得到S_矩形AGDH=-$\frac{4}{3}$AG²+8AG，确定极值，AG=3时，面积最大，最后求k得值．

解答 解：（1）∵AB²+AC²=100=BC²，
∴∠BAC=90°，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠D=∠BAC=90°，
（2）①四边形AGDH为正方形，
理由：如图1，

延长ED交BC于M，延长FD交BC于N，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠B=∠E，
∵EF∥BC，
∴∠E=∠EMC，
∴∠B=∠EMC，
∴AB∥DE，
同理：DF∥AC，
∴四边形AGDH为平行四边形，
∵∠D=90°，
∴四边形AGDH为矩形，
∵GH⊥AD，
∴四边形AGDH为正方形；
②当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，
理由：如图2，

点D在内部时（N在△ABC内部或BC边上），延长GD至N，过N作NM⊥AC于M，
∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH，
∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，
只有点D在BC边上时，面积才有可能最大，
如图3，

点D在BC上，
∵△DEF∽△ABC，
∴∠F=∠C，
∵EF∥BC．
∴∠F=∠BDG，
∴∠BDG=∠C，
∴DG∥AC，
∴△BGD∽△BAC，
∴$\frac{BG}{AB}=\frac{GD}{AC}$，
∴$\frac{AB-AG}{AB}=\frac{AH}{AC}$，
∴$\frac{6-AG}{6}=\frac{AH}{8}$，
∴AH=8-$\frac{4}{3}$GA，
S_矩形AGDH=AG×AH=AG×（8-$\frac{4}{3}$AG）=-$\frac{4}{3}$AG²+8AG，
当AG=-$\frac{8}{2×\frac{-4}{3}}$=3时，S_矩形AGDH最大，此时，DG=AH=4，
即：当AG=3，AH=4时，S_矩形AGDH最大，
在Rt△BGD中，BD=5，
∴DC=BC-BD=5，
即：点D为BC的中点，
∵AD=$\frac{1}{2}$BC=5，
∴PA=AD=5，
延长PA，∵EF∥BC，QP⊥EF，
∴QP⊥BC，
∴PQ是EF，BC之间的距离，
∴D到EF的距离为PQ的长，
在△ABC中，$\frac{1}{2}$AB×AC=$\frac{1}{2}$BC×AQ
∴AQ=4.8
∵△DEF∽△ABC，
∴k=$\frac{PQ}{AQ}$=$\frac{PA+AQ}{AQ}$=$\frac{49}{24}$．

点评 此题是相似三角形的综合题，主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形，矩形，正方形的判定和性质，极值的确定，勾股定理的逆定理，解本题的关键是作出辅助线，