【题目】我们定义:如图1,在△ABC中,把AB绕点A按顺时针方向旋转α(0°<α<180°)得到AB′,把AC绕点A按逆时针方向旋转β得到AC′,连接B′C′,当α+β=180°时,我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”,△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.
(1)特例感知:在图2、图3中,△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.
①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=______BC;
②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为______.
(2)精确作图:如图4,已知在四边形ABCD内部存在点P,使得△PDC是△PAB的“旋补三角形”(点D的对应点为点A,点C的对应点为点B),请用直尺和圆规作出点P(要求:保留作图痕迹,不写作法和证明)
(3)猜想论证:在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.
【答案】(1)①,②4;(2)见解析;(3)AD=BC.
【解析】
(1)①根据含30°直角三角形的性质解答;②证明△AB′C′≌△ABC,根据全等三角形的性质得到B′C′=BC,根据直角三角形的性质计算;
(2)根据线段垂直平分线的性质、利用尺规作图作出点P;
(3)证明四边形AB′EC′是平行四边形,得到B′E=AC′,∠B′AC′+∠AB′E=180°,根据全等三角形的性质得到AE=BC,得到答案.
解:(1)①∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠BAC=60°,
∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”,
∴∠B′AC′=120°,AB=AB′,AC=AC′,
∴AB′=AC′,
∴∠AB′D=30°,
∴AD=AB′,
∴AD=BC,
故答案为:;
②∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”,
∴∠B′AC′=∠BAC=90°,AB=AB′,AC=AC′,
在△AB′C′和△ABC中,
,
∴△AB′C′≌△ABC(SAS)
∴B′C′=BC=8,
∵∠B′AC′=90°,AD是△ABC的“旋补中线”,
∴AD=B′C′=4,
故答案为:4;
(2)如图4,作线段AD、BC的垂直平分线,交点即为点P,
∴点P即为所作;
(3)AD=BC,
证明:如图1,延长AD到E,使得DE=AD,连接B′E、C′E,
∵AD是△AB′C’的中线,
∴B′D=C′D,
∵DE=AD,
∴四边形AB′EC′是平行四边形,
∴B′E=AC′,∠B′AC′+∠AB′E=180°,
∵α+β=180°,
∴∠B′AC′+∠BAC=180°,
∴∠EB′A=∠BAC,
在△EB′A和△CAB中,
∴△EB′A≌△CAB(SAS),
∴AE=BC,
∴AD=BC.
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【题目】已知在Rt△ABC中,∠C=90°,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线交于点O,连接OC,已知AC=4,OC=7,则另一条直角边BC的长为_____.
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【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点D、E分别是边AB、BC的中点,点F、G是边AC的三等分点,DF、EG的延长线相交于点H,连接HA、HC.
(1)求证:四边形FBGH是菱形;
(2)求证:四边形ABCH是正方形.
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【题目】正方形网格中(网格中的每个小正方形边长是1),△ABC的顶点均在格点上,请在所给的直角坐标系中解答下列问题:
(1)作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB1C1,再作出△AB1C1关于原点O成中心对称的△A1B2C2.
(2)点B1的坐标为 ,点C2的坐标为 .
(3)请直接写出以A1、B2、C2为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标:
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【题目】如图,在中,,,在内并排不重叠放入边长为1的小正方形纸片,第一层小纸片的一条边都在AB上,首尾两个正方形各有一个顶点分别在AC、BC上,依次这样摆放上去,则最多能摆放 个小正方形纸片.
A. 14个 B. 15个 C. 16个 D. 17个
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【题目】如图,平面直角坐标系中有点A(0,1)、B(,0).
连接AB,以A为圆心,以AB为半径画弧,交y轴于点P1;
连接BP1,以B为圆心,以BP1为半径画弧,交x轴于点P2;
连接P1P2,以P1为圆心,以P1P2为半径画弧,交y轴于点P3;
按照这样的方式不断在坐标轴上确定点Pn的位置,那么点P6的坐标是_____.
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2﹣2=0.
(1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值;
(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1﹣x2)2+m2=21,求m的值.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,对称轴为直线x=﹣1,点B的坐标为(1,0),则下列结论:①AB=4;②b2﹣4ac>0;③ab<0;④a2﹣ab+ac<0,其中正确的结论有( )个.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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