Question

【题目】如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，

（1）将抛物线沿y轴向下平移t（t＞0）个单位，当平移后的抛物线与线段OB有且只有一个交点时，则t的取值范围是.
（2）抛物线上存在点P，使∠BCP=∠BAC﹣∠ACO，则点P的坐标为 ．

Answer 1

【答案】
（1）0<t<3或t=4
（2） ， （-5，-32）
【解析】（1）解：由y=-x2+2x+3可得A（-1,0），B（3,0），C（0,3）.对称轴为直线x=1，顶点为（1,4）；
将抛物线沿y轴平移t（t＞0）个单位，得y=-x2+2x+3-t，
当它与x轴的一个交点与O重合时，
则当x=0时，则3-t=0，t=3，此时与x轴的另外一个交点为（1,0），
与x轴的两个交点都在线段OB上，则t<3；
当它与x轴的一个交点与B重合时，
则当x=3时，则0-t=0，t=0，
此时与x轴的另外一个交点为（4,0），则t>0；
当它的顶点在x轴上时，与x轴只有一个交点，且顶点坐标为（1,0）符合题意，此时-1+2+3-t=0
解得t=4.
综上，0<t<3或t=4.
（2）取AC的中点M，过M作MN⊥AC交OC于N，连接AN
则AN=CN，

∴∠ACO=∠CAN
∵∠BCP=∠BAC-∠ACO，
∴∠BCP=∠BAC-∠CAN=∠NAO
∵∠ACO=∠NCM，∠AOC=∠CMN=90°，
∴△MCN∽△OCA，
∴ ，
∴CN====
∴NO=CO-CN=3-= ，
∴tan∠NAO==；
当点P在BC上方时，设为P1 ， 过B作BD⊥BC交直线CP1于D，过D作DE⊥x轴于E，

∵∠OCB=∠DBE，∠BOC=∠BED=90°，
∴△BDE∽△CBO，
∴===tan∠BCP1=tan∠NAO=；
∴BE=CO=4，DE=BO=4，OE=3+4=7
∴D（7，4）
设直线CP1的解析式为y=k1x+3，把（7，4）代入
4=7k1+3，
∴k1= ，
∴y=x+3
令-x2+2x+3=x+3，
解得x1=0（舍去），x2=,
∴P1（,），
当点P在BC下方时，设为P2（m，n），
则∠BCP2=∠BCP1
延长DB交直线CP2于E，则点B是DE的中点，设E（a,b）

∴
解得
∴E（-1，-4）
设直线CP2的解析式为y=k2x+3，把（-1，-4）代入-4=-k2+3，
∴k2=7，
∴y=7x+3
令-x2+2x+3=7x+3，
解得x1=0（舍去），x2=-5
∴P2（-5，-32）
综上所述，抛物线上存在点P，使∠BCP=∠BAC-∠ACO，
P点坐标为（,）或（-5，-32）．
所以答案是0<t<3或t=4；（,）或（-5，-32）．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的图象和二次函数图象的平移，需要了解二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；平移步骤：（1）配方 y=a(x-h)2+k，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减才能得出正确答案．