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    如图所示，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，2），连接AC，若tan∠OAC=2．
    （1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
    （2）在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠APC=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）如图所示，连接BC，M是线段BC上（不与B、C重合）的一个动点，过点M作直线l′∥l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？

    【答案】分析：（1）已知了C点的坐标，即可得到OC的长，根据∠OAC的正切值即可求出OA的长，由此可得到A点的坐标，将A、C的坐标代入抛物线中，即可确定该二次函数的解析式；
    （2）根据抛物线的解析式即可确定其对称轴方程，由此可得到点P的横坐标；若∠APC=90°，则∠PAE和∠CPD是同角的余角，因此两角相等，则它们的正切值也相等，由此可求出线段PE的长，即可得到点P点的坐标；（用相似三角形求解亦可）
    （3）根据B、C的坐标易求得直线BC的解析式，已知了点M的横坐标为t，根据直线BC和抛物线的解析式，即可用t表示出M、N的纵坐标，由此可求得MN的长，以MN为底，B点横坐标的绝对值为高，即可求出△BNC的面积（或者理解为△BNC的面积是△CMN和△MNB的面积和），由此可得到关于S（△BNC的面积）、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得S的最大值及对应的t的值．
    解答：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点C（0，2），
    ∴x=2；
    又∵tan∠OAC==2，
    ∴OA=1，即A（1，0）；
    又∵点A在抛物线y=x2+bx+2上，
    ∴0=12+b×1+2，b=-3；
    ∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2-3x+2；

    （2）存在．
    过点C作对称轴l的垂线，垂足为D，如图所示，
    ∴x=-；
    ∴AE=OE-OA=-1=，
    ∵∠APC=90°，
    ∴tan∠PAE=tan∠CPD，
    ∴，即=，
    解得PE=或PE=，
    ∴点P的坐标为（，）或（，）．（备注：可以用勾股定理或相似解答）

    （3）如图所示，易得直线BC的解析式为：y=-x+2，
    ∵点M是直线l′和线段BC的交点，
    ∴M点的坐标为（t，-t+2）（0＜t＜2），
    ∴MN=-t+2-（t2-3t+2）=-t2+2t，
    ∴S△BCN=S△MNC+S△MNB=MN?t+MN?（2-t），
    =MN?（t+2-t）=MN=-t2+2t（0＜t＜2），
    ∴S△BCN=-t2+2t=-（t-1）2+1，
    ∴当t=1时，S△BCN的最大值为1．
    备注：如果没有考虑取值范围，可以不扣分．
    点评：此题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的性质、解直角三角形、函数图象交点以及图形面积的求法等重要知识点；能够将图形面积最大（小）问题转换为二次函数的最值问题是解答（3）题的关键．
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    精英家教网如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，AE=BE，则下列关系式中不能成立的是（　　）
    A、b=0B、S△ABE=c2C、ac=-1D、a+c=0

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•河源二模）已知：如图所示，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）设点P在该抛物线上滑动，且满足条件S△PAB=1的点P有几个？并求出所有点P的坐标；
    （3）设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•槐荫区一模）如图所示，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（-1，0）、（0，-3）．
    （1）求抛物线的函数解析式；
    （2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC=DE，求出点D的坐标；
    （3）在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．

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    （1997•陕西）如图所示，抛物线对应的函数解析表达式只可能是（　　）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1997•陕西）如图所示的抛物线是把y=-x2经过平移而得到的．这时抛物线过原点O和x轴正向上一点A，顶点为P；
    ①当∠OPA=90°时，求抛物线的顶点P的坐标及解析表达式；
    ②求如图所示的抛物线对应的二次函数在-
    1
    2
    ≤x≤
    1
    2
    时的最大值和最小值．

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