Question

13．如图1，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（6，y），AB⊥x轴于点B，sin∠OAB=$\frac{3}{5}$，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象的一支经过AO的中点C，且与AB交于点D．
（1）求反比例函数解析式；
（2）如图2，若函数y=3x与y=$\frac{k}{x}$的图象的另一支交于丁点M，求三角形OMB与四边形OCDB的面积的比．

Answer 1

分析 （1）在RT△AOB中，根据sin∠OAB=$\frac{OB}{OA}$求出OA，再求出点C坐标即可解决问题．
（2）利用方程组求出点M坐标，分别求出三角形OMB与四边形OCDB的面积即可解决问题．

解答 解：（1）在RT△AOB中，∵0B=6，∠AB0=90°，
∴sin∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{3}{5}$，
∴OA=10，AB=$\sqrt{O{A}^{2}-O{B}^{2}}$=8，
∴点A再把（6，8），
∵点C是OA中点，
∴点C坐标（3，4），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象的一支经过点C，
∴k=12，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{12}{x}$．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{12}{x}}\\{y=3x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∵点M在第三象限，
∴点M坐标（-2，-6），
∵点D坐标（6，2），
∴S_△OBM=$\frac{1}{2}$×6×6=18，S_{四边形OBDC}=S_△AOB-S_△ACD=$\frac{1}{2}$×6×8-$\frac{1}{2}$×6×3=15，
∴三角形OMB与四边形OCDB的面积的比=18：15=6：5．

点评 本题考查反比例函数图象与一次函数图象的交点、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会利用方程组求两个函数图象的交点坐标，属于中考常考题型．