Question

（2012•惠安县质检）已知二次函数y=

1

4

x2的图象与一次函数y=kx+1的图象交于A，B两点（A在B的左侧），且A点坐标为（-4，4）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若平行于x轴的直线l过（0，-1）点，试判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并说明理由；
（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t＞0），得到的二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值，过F，M，N三点的圆的面积最小？

Answer 1

分析：（1）已知了一次函数的图象经过A点，可将A点的坐标代入一次函数中，即可求出一次函数的解析式．
（2）求直线与圆的位置关系需知道圆心到直线的距离和圆的半径长．由于直线l平行于x轴，因此圆心到直线l的距离为1．因此只需求出圆的半径，也就是求AB的长，根据（1）中两函数的解析式即可求出B点的坐标，根据A、B两点的坐标即可求出AB的长．然后判定圆的半径与1的大小关系即可．
（3）先设出平移后抛物线的解析式，不难得出平移后抛物线的对称轴为x=2．因此过F，M，N三点的圆的圆心必在直线x=2上，要使圆的面积最小，那么圆心到F点的距离也要最小（设圆心为C），即F，C两点的纵坐标相同，因此圆的半径就是2．C点的坐标为（2，1）（可根据一次函数的解析式求出F点的坐标）．可设出平移后的抛物线的解析式，表示出MN的长，如果设对称轴与x轴的交点为E，那么可表示出ME的长，然后在直角三角形MEC中根据勾股定理即可确定平移的距离．即t的值．（也可根据C点的坐标求出M，N点的坐标，然后用待定系数法求出平移后的抛物线的解析式，经过比较即可得出平移的距离，即t的值）．

解答：解：（1）把A（-4，4）代入y=kx+1得：k=-

3

4

，
∴一次函数的解析式为y=-

3

4

x+1；

  （2）由

y=- 3 4 x+1 y= 1 4 x2

，
解得

x=-4 y=4

或

x=1 y= 1 4

，
∴B(1，

1

4

)，
过A，B点分别作直线l的垂线，垂足为A'，B'，
则AA′=4+1=5，BB′=

1

4

+1=

5

4

，
∴直角梯形AA'B'B的中位线长为

5+ 5 4

2

=

25

8

，
过B作BH垂直于直线AA'于点H，则BH=A'B'=5，AH=4-

1

4

=

15

4

，
∴AB=

52+( 15 4 )2

=

25

4

，
∴AB的长等于AB中点到直线l的距离的2倍，
∴以AB为直径的圆与直线l相切．

（3）（方法一） 平移后二次函数解析式为y=

1

4

(x-2)2-t，
令y=0，得

1

4

(x-2)2-t=0，x1=2+2

t

，x2=2-2

t

，
∵过F，M，N三点的圆的圆心一定在平移后抛物线的对称轴上，点C为定点，B要使圆面积最小，圆半径应等于点F到直线x=2的距离，
此时，半径为2，面积为4π，
设圆心为C，MN与直线x=2交于点E，连接CM，则CE⊥MN，ME=NE，CE=OF=1，
在直角三角形CEM中，ME=

22-1

=

3

，
∴MN=2

3

，而MN=|x₁-x₂|=4

t

，从而求得 t=

3

4

，
∴当t=

3

4

时，过F，M，N三点的圆面积最小；

（方法二） 设圆心为C，半径为r，
由y=

1

4

(x-2)2-t=0，得x1=2+2

t

，x2=2-2

t

，
∴ME=NE=2

t

则CE=

MC2-ME2

=

r2-(2 t )2

=

r2-4t

，
∴点C（2，

r2-4t

），
又F（0，1）∴由CF=r得：r2=22+(

r2-4t

-1)2，
整理得r2=4(t-

3

4

)2+4，
∴当t=

3

4

时，过F，M，N三点的圆面积最小．

点评：此题主要考查了求一次函数解析式、二次函数的平移、勾股定理，二次函数的最值，直线与圆的位置关系，解二元二次方程组等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，综合考查了学生数形结合的数学思想方法．