Question

8．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-4，0），B（1，0），与y轴交于点D（0，4），点C（-2，n）也在此抛物线上．
（1）求此抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）设BC交y轴于点E，连接AE，AC请判断△ACE的形状，并说明理由；
（3）连接AD交BC于点F，试问：以A，B，F为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、B、D三点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，把C点坐标代入解析式可求得n的值，可求得C点坐标；
（2）把C点坐标代入抛物线解析式可求得n，可得C点坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式，则可求得E点坐标，利用勾股定理可求得AC、AE、CE的长，则可判断△ACE的形状；
（3）由A、D坐标可先求得直线AD解析式，联立直线BC、AD解析式可求得F点坐标，又可求得BF、BC和AB的长，由题意可知∠ABF=∠CAB，若以A，B，F为顶点的三角形与△ABC相似只有∠BFA=∠CAB，则判定$\frac{BF}{AB}$和$\frac{AB}{BC}$是否相等即可．

解答 解：
（1）∵抛物线经过A、B、D三点，
∴代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线y=-x²-3x+4，
∵点C（-2，n）也在此抛物线上，
∴n=-4+6+4=6，
∴C点坐标为（-2，6）；
（2）△ACE为等腰直角三角形，理由如下：
设直线BC解析式为y=kx+s，
把B、C两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{k+s=0}\\{-2k+s=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{s=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=-2x+2，
令x=0可得y=2，
∴E点坐标为（0，2），
∵A（-4，0），C（-2，6），
∴AC=$\sqrt{[-2-（-4）]^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$，AE=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，CE=$\sqrt{[0-（-2）]^{2}+（2-6）^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
∴AE²+CE²=20+20=40=AC²，且AE=CE，
∴△ACE为等腰直角三角形；
（3）相似，理由如下：
设直线AD解析式为y=px+q，
把A、D坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-4p+q=0}\\{q=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=1}\\{q=4}\end{array}\right.$，
∴直线AD解析式为y=x+4，
联立直线AD、BC解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{y=-2x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{3}}\\{y=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴F点坐标为（-$\frac{2}{3}$，$\frac{10}{3}$），
∴BF=$\sqrt{[1-（-\frac{2}{3}）]^{2}+（\frac{10}{3}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$，BC=$\sqrt{[1-（-2）]^{2}+（0-6）^{2}}$=3$\sqrt{5}$，且AB=1-（-4）=5，
∴$\frac{BF}{AB}$=$\frac{\frac{5\sqrt{5}}{3}}{5}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，$\frac{AB}{BC}$=$\frac{5}{3\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴$\frac{BF}{AB}$=$\frac{AB}{BC}$，且∠FBA=∠CAB，
∴△ABF∽△CBA．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定和性质等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤是解题的关键，在（2）中求得E点坐标是解题的关键，在（3）中求得F点的坐标是解题的关键，注意勾股定理的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．