Question

20．如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且C是弧AG的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若$\frac{OF}{FD}$=$\frac{2}{3}$，求证：AE=AO；
（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=2$\sqrt{3}$，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接OC，AC，CG，由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG，根据同圆的半径相等得到OC=OB，于是得到∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OCB=∠CBG，根据平行线的判定得到OC∥BG，即可得到结论；
（2）由OC∥BD，得到△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，得到$\frac{OC}{BD}$=$\frac{OF}{DF}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{OC}{DB}$=$\frac{OE}{BE}$=$\frac{2}{3}$，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（3）如图2，过A作AH⊥DE于H，解直角三角形得到BD=6，DE=6$\sqrt{3}$，BE=12，在Rt△DAH中，AD=$\sqrt{A{H}^{2}+D{H}^{2}}$，求出答案即可．

解答 （1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，
∵AC=CG，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CG}$，
∴∠ABC=∠CBG，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OCB=∠CBG，
∴OC∥BG，
∵CD⊥BG，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵OC∥BD，
∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，
∴$\frac{OC}{BD}$=$\frac{OF}{DF}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{OC}{DB}$=$\frac{OE}{BE}$=$\frac{2}{3}$，
∵OA=OB，
∴AE=OA=OB，
∴OC=$\frac{1}{2}$OE，
∵∠ECO=90°，
∴∠E=30°；

（3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H，
∵∠E=30°
∴∠EBD=60°，
∴∠CBD=$\frac{1}{2}$∠EBD=30°，
∵CD=2$\sqrt{3}$，
∴BD=6，DE=6$\sqrt{3}$，BE=12，
∴AE=$\frac{1}{3}$BE=4，
∴AH=2，
∴EH=2$\sqrt{3}$，
∴DH=4$\sqrt{3}$，
在Rt△DAH中，AD=$\sqrt{A{H}^{2}+D{H}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．