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【题目】在平面直角坐标系xOy中,图形G的投影矩形定义如下:矩形的两组对边分别平行于x轴,y轴,图形G的顶点在矩形的边上或内部,且矩形的面积最小.设矩形的较长的边与较短的边的比为k,我们称常数k为图形G的投影比.如图1,矩形ABCD为△DEF的投影矩形,其投影比

(1)如图2,若点A(1,3),B(3,5),则△OAB投影比k的值为  

(2)已知点C(4,0),在函数y=2x﹣4(其中x<2)的图象上有一点D,若△OCD的投影比k=2,求点D的坐标.

(3)已知点E(3,2),在直线y=x+1上有一点F(5,a)和一动点P,若△PEF的投影比1<k<2,则点P的横坐标m的取值范围  (直接写出答案).

【答案】(1) ;(2) D(1,﹣2);(3) 1<m<3或m>5.

【解析】试题分析:(1)分别过点B作坐标轴的垂线,构成的矩形即是△OAB的投影矩形;(2)分类讨论,当点O,D,C都在投影矩形的边上时,点D在第四象限,当点DC在投影矩形的边上,O在投影矩形内部时,点D在第三象限,然后利用投影比的定义求解;(3)点EF是两个定点,点P是直线上的动点,根据点P的位置的不同,所构造的投影矩形也不同,所以应分三种情况讨论。

试题解析:(1)在图2中

过点BBCx轴于点C,作BDy轴于点D,则矩形OCBD为△OAB的投影矩形,∵点B(3,5),∴OC=3,BC=5,∴△OAB投影比k的值为=

(2)∵点D为函数y=2x﹣4(其中x<2)的图象上的点,设点D坐标为(x,2x﹣4)(x<2).分以下两种情况:①当0≤x≤2时,如图3所示,

作投影矩形OMNC.∵OCOM,∴,解得x=1,∴D(1,﹣2);②当x<0时,如图4所示,作投影矩形MDNC

∵点D坐标为(x,2x﹣4),点M点坐标为(x,0),∴DM=|2x﹣4|=4﹣2xMC=4﹣x,∵x<0,∴DMCM,∴,但此方程无解.

∴当x<0时,满足条件的点D不存在.综上所述,点D的坐标为D(1,﹣2).

(3)令y=x+1中y=2,则x+1=2,解得:x=1.

①当m≤1时,作投影矩形AFBP,如图5所示.此时点Pmm+1),PA=5﹣mFA′=6﹣(m+1)=5﹣m,△PEF的投影比k==1,∴m≤1不符合题意;

②当1<m<3时,作投影矩形AFBQ,如图6所示.

此时点Pmm+1),FB=5﹣mFA=6﹣2=4,△PEF的投影比k==

∵1<m<3,∴1<k<2,∴1<m<3符合题意;

③当3≤m≤5时,作投影矩形AFBE,如图7所示.

此时点E(3,2),FA=6﹣2=4,FB=5﹣3=2,△PEF的投影比k==2,

∴3≤m≤5不符合题意;

④当m>5时,作投影矩形APBE,如图8所示.

此时点Pmm+1),点E(3,2),PB=m+1﹣2=m﹣1,PA=m﹣3,△PEF的投影比k==,∵m>5,∴1<k<2,∴m>5符合题意.

综上可知:点P的横坐标m的取值范围为1<m<3或m>5.

故答案为:1<m<3或m>5.

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