Question

对于二次函数y=-x²+8x-6和一次函数y=3x-4，把y=t（-x²+8x-6）+（2-3t）（3x-4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线C．现有点A（2，4）和抛物线C上的点B（-3，n），请完成下列任务：
【尝试】
（1）判断点A是否在抛物线C上；
（2）求n的值
【发现】
     通过（1）和（2）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线C总过固定的两点，则这两点的坐标分别是______．
【应用】
     二次函数y=4x²-6x+9是二次函数y=-x²+8x-6和一次函数y=3x-4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．

Answer 1

解：（1）把点A（2，4）代入“再生二次函数”解析式y=t（-x²+8x-6）+（2-3t）（3x-4）中，
4=6t+4-6t，左边等于右边，
则点A在抛物线C上；

（2）把点B（-3，n）代入“再生二次函数”解析式y=t（-x²+8x-6）+（2-3t）（3x-4）中，
n=t（-9-24-6）+（2-3t）（-9-4），
n=-39t-26+39t=-26，
则n的值为-26；

发现：把y=t（-x²+8x-6）+（2-3t）（3x-4）变形为y=t（-x²-x+6）+6x-8，
若对于t取任何不为零的实数，抛物线C总过固定的两点，
则-x²-x+6=0，
解得x₁=2，x₂=-3，
当x=2时，y=4，
当x=-3时，y=-26；
则这两点的坐标分别是（2，4），（-3，-26）；

应用：若二次函数y=4x²-6x+9不是二次函数y=-x²+8x-6和一次函数y=3x-4的一个“再生二次函数”；
则二次函数y=4x²-6x+9过点（2，4），（-3，-26）；
经过检验二次函数y=4x²-6x+9不过（2，4），（-3，-26）这两点，
所以t的值不存在．
分析：（1）把点A（2，4）代入“再生二次函数”解析式中，若等式左右两边相等，则可以判断点A是否在抛物线C上；
（2）把点B（-3，n）代入“再生二次函数”解析式中，使等式左右两边相等，即可求出n的值；
发现：把y=t（-x²+8x-6）+（2-3t）（3x-4）变形为y=t（-x²-x+6）+6x-8，令-x²-x+6=0，解出x的值，即可求出两个点的坐标；
应用：若二次函数y=4x²-6x+9是二次函数y=-x²+8x-6和一次函数y=3x-4的一个“再生二次函数”，则固定两点的坐标代入“再生二次函数”解析式中，求出t的值即可．
点评：本题主要考查二次函数的综合题，解答此题的关键是理解新定义“再生二次函数”，此题难度不大.