Question

【题目】如图1，Rt△ABC中，∠BAC=90°，四边形ADEF是矩形，点B、C分别在边AD、AF上，且BC∥DF．

（1）求证：，BD⊥CF；

（2）当△ABC绕点A逆时针旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当△ABC绕点A逆时针旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立．理由见解析．

【解析】

（1）根据平行线分线段成比例即可得出，然后利用矩形的性质即可证明BD⊥CF；

（2）延长DB交CF于G，交AF于H，先证明△ABC∽△ADF，得出，再由旋转的性质得出的∠CAF=∠BAD和对应边成比例证明△ABD∽△ACF，根据相似三角形的性质有，∠AFC=∠ADB，最后通过等量代换可得到∠FGH=90°，即可证明BD⊥CF．

（1）∵BC∥DF，

∴，

∵四边形ADEF是矩形，

∴∠A=90°，

∴AD⊥AF，

∴BD⊥CF；

（2）（1）中的结论还成立．理由如下：

延长DB交CF于G，交AF于H，如图2所示：

由（1）得：BC∥DF，

∴∠ABC=∠ADF，∠ACB=∠AFD，

∴△ABC∽△ADF，

∴，

由旋转的性质得∠CAF=∠BAD，

∴△ABD∽△ACF，

∴，∠AFC=∠ADB．

∵∠GHF=∠AHD，∠ADB+∠AHD=90°，

∴∠AFC+∠GHF=90°，

∴∠FGH=90°，

∴BD⊥CF．