Question

17．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD为△ABC的中线，作CO⊥AB于O，点E在CO延长线上，DE=AD，连接BE、DE．

（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）把△ABC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC=6，求两条分割线段长度的和．

Answer 1

分析 （1）容易证三角形BCD为等边三角形，又DE=AD=BD，再证三角形DBE为等边三角形四边相等的四边形BCDE为菱形．
（2）画出图形，证出BM+MN=AM+MC=AC=6即可．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，CD为△ABC的中线，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠BDC=30°+30°=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵CO⊥AB，
∴OD=OB，
∴DE=BE，
∵DE=AD，
∴CD=BC=DE=BE，
∴四边形BCDE为菱形；
（2）解：作∠ABC的平分线交AC于N，再作MN⊥AB于N，如图所示：
则MN=MC=$\frac{1}{2}$BM，∠ABM=∠A=30°，
∴AM=BM，
∵AC=6，
∴BM+MN=AM+MC=AC=6；
即两条分割线段长度的和为6．

点评 本题考查了菱形的判定、等边三角形的判定、角平分线的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和直角三角形的性质是解决问题的关键．