Question

已知a、b是正实数，那么，是恒成立的．
（1）由恒成立，说明恒成立；
（2）填空：已知a、b、c是正实数，由恒成立，猜测：______

Answer 1

【答案】分析：（1）由（-）²≥0，利用完全平方公式，即可证得恒成立；
（2）由a³+b³+c³-3abc=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ac）=（a+b+c）[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]，可证得a³+b³+c³≥3abc，即可得 也恒成立；
（3）首先证得Rt△APC∽Rt△PBC，由相似三角形的对应边成比例，可求得PC的值，又由OP是半径，可求得OP=，然后由点到线的距离垂线段最短，即可证得恒成立．
解答：解：（1）∵（-）²≥0，
∴a-2+b≥0，…（1分）
∴a+b≥2，…（2分）
∴≥；…（3分）

（2）…（6分）
理由：a³+b³+c³-3abc
=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ac）
=（a+b+c）（2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac）
=（a+b+c）[（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²]
∵a、b、c是正实数，
∴a³+b³+c³-3abc≥0，
∴a³+b³+c³≥3abc，
同理： 也恒成立；
故答案为：；

（3）如图，连接OP，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
又∵PC⊥AB，
∴∠ACP=∠APB=90°，
∴∠A+∠B=∠A+∠APC=90°，
∴∠APC=∠B，
∴Rt△APC∽Rt△PBC，
∴，
∴PC²=AC•CB=ab，
∴PC=，…（7分）
又∵PO=，
∵PO≥PC，
∴．…（8分）
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、几何不等式的应用与证明以及完全平方公式等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意完全平方式的非负性的应用．