Question

9．已知关于x的一元二次方程ax²+（3a+1）x+2（a+1）=0（a≠0）
（1）求证：无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根；
（2）当a取何整数时，关于x的方程ax²+（3a+1）x+2（a+1）=0（a≠0）的两个实数根均为负整数．

Answer 1

分析 （1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案；
（2）先利用因式分解法求出方程的两根为x₁=-2，x₂=-$\frac{a+1}{a}$，再根据两个实数根均为负整数，得出$\frac{a+1}{a}$必须为正整数，那么整数a=1．

解答 （1）证明：∵△=（3a+1）²-4a•2（a+1）=a²-2a+1=（a-1）²≥0，
∴无论a为任何非零实数，方程总有两个实数根；

（2）解：∵ax²+（3a+1）x+2（a+1）=0（a≠0），
∴（x+2）[ax+a+1]=0，
∴x+2=0，或ax+a+1=0，
解得x₁=-2，x₂=-$\frac{a+1}{a}$．
要使两个实数根均为负整数，则$\frac{a+1}{a}$必须为正整数，
∴整数a=1．

点评 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．