Question

20．以AC=6为直径画一个圆，过点A作AP⊥AC，过点C作CB∥OP，直线PB与直线AC相交于点D．
（1）求证：PD为圆O的切线；
（2）已知PA=$\frac{1}{2}BD$=4，求BC．

Answer 1

分析 （1）证明：连结OB，如图，根据平行线的性质，由CB∥OP得到∠1=∠3，∠2=∠4，加上∠3=∠4，则∠1=∠2，则可证明△POB≌△POA，得到∠PBO=∠PAO=90°，然后根据切线的性质可判断PD为圆O的切线；
（2）先利用勾股定理计算出OP=5，再由△POB≌△POA得到PB=PA=4，然后由BC∥OP可判断△DBC∽△DPO，于是利用相似比可计算出BC．

解答 （1）证明：连结OB，如图，
∵AP⊥AC，
∴∠PAC=90°，
∵CB∥OP，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵OB=OC，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
在△POB和△POA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OA}\\{∠1=∠2}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△POB≌△POA，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴OB⊥PD，
∴PD为圆O的切线；
（2）解：在Rt△POA中，∵OA=3，PA=4，
∴OP=$\sqrt{O{A}^{2}+P{A}^{2}}$=5，
∵△POB≌△POA，
∴PB=PA=4，
∵BC∥OP，
∴△DBC∽△DPO，
∴$\frac{DB}{DP}$=$\frac{BC}{OP}$，即$\frac{8}{8+4}$=$\frac{BC}{5}$，
∴BC=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．