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20.以AC=6为直径画一个圆,过点A作AP⊥AC,过点C作CB∥OP,直线PB与直线AC相交于点D.
(1)求证:PD为圆O的切线;
(2)已知PA=$\frac{1}{2}BD$=4,求BC.

分析 (1)证明:连结OB,如图,根据平行线的性质,由CB∥OP得到∠1=∠3,∠2=∠4,加上∠3=∠4,则∠1=∠2,则可证明△POB≌△POA,得到∠PBO=∠PAO=90°,然后根据切线的性质可判断PD为圆O的切线;
(2)先利用勾股定理计算出OP=5,再由△POB≌△POA得到PB=PA=4,然后由BC∥OP可判断△DBC∽△DPO,于是利用相似比可计算出BC.

解答 (1)证明:连结OB,如图,
∵AP⊥AC,
∴∠PAC=90°,
∵CB∥OP,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,
∵OB=OC,
∴∠3=∠4,
∴∠1=∠2,
在△POB和△POA中,
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OA}\\{∠1=∠2}\\{OP=OP}\end{array}\right.$,
∴△POB≌△POA,
∴∠PBO=∠PAO=90°,
∴OB⊥PD,
∴PD为圆O的切线;
(2)解:在Rt△POA中,∵OA=3,PA=4,
∴OP=$\sqrt{O{A}^{2}+P{A}^{2}}$=5,
∵△POB≌△POA,
∴PB=PA=4,
∵BC∥OP,
∴△DBC∽△DPO,
∴$\frac{DB}{DP}$=$\frac{BC}{OP}$,即$\frac{8}{8+4}$=$\frac{BC}{5}$,
∴BC=$\frac{10}{3}$.

点评 本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了相似三角形的判定与性质.

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