Question

已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M．

(1)求证：AB=CD；

(2)若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD

的数量关系，并说明理由． 

 

               

Answer 1

解：

 

 (1)证明：∵AF平分∠BAC，∴∠CAD=∠DAB=∠BAC．

∵D与A关于E对称，∴E为AD中点．

∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC=CD．）

在Rt△ACE和Rt△ABE中，

∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°， ∠CAD=∠DAB．

∴∠ACE=∠ABE，∴AC=AB． 

∴AB=CD．    

          

(2)∵∠BAC=2∠MPC， 又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD．

∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，          ∴∠MPC=∠CDA．          

∴∠MPF=∠CDM．               

∵AC=AB，AE⊥BC，∴CE=BE．                    

∴AM为BC的中垂线，∴CM=BM．         

∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB，(等腰三角形三线合一)

∴∠CME=∠BME．                    

∵∠BME=∠PMF，

∴∠PMF=∠CME，            

∴∠MCD=∠F(三角形内角和)．