Question

已知关于x的方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若此方程有一个根是1，请求出k的值．

Answer 1

解：（1）∵x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0有实数根，
∴△=4（k-3）²-4（k²-4k-1）=4k²-24k+36-4k²+16k+4=40-8k≥0，
解得：k≤5；

（2）将x=1代入方程得：1²-2（k-3）+k²-4k-1=0，即k²-6k+6=0，
△=（-6）²-4×6=12，
解得k==3±，
所以，k=3+或k=3-．
分析：（1）由方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；
（2）将x=1代入方程中，得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程无实数根．