Question

如图示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，中位线长为5cm，高为2cm，求梯形底边BC的长及梯形的面积．

Answer 1

解：取两腰AB，CD的中点分别为E和F，连接EF，
根据梯形中位线定理得：EF=（AD+BC），
∵EF=5cm，∴AD+BC=10cm，
过A，D作出梯形的两条高AM和DN，
∵梯形ABCD，∴AD∥BC，
∴∠MAD=∠AMN=∠MND=90°，
∴四边形AMND为矩形，
∴AD=MN，
又Rt△ABM和Rt△DCN中，
AM=DN，AB=AC，
∴Rt△ABM≌Rt△DCN，
∴BM=CN，
由∠AMB=90°，∠B=45°，得△ABM为等腰直角三角形，
∴MB=AM=2cm，同理CN=DN=2cm，
设AD=MN=xcm，
则AD+BC=AD+BM+MN+NC=2x+4=10，
解得：x=3，
∴BC=2+x+2=7；
∴梯形的面积S===10cm²．
答：BC=7cm，梯形的面积10cm²．
分析：取两腰的中点，连接两中点得到梯形的中位线，根据梯形的中位线定理得到梯形的中位线等于上下底之和的一半，由中位线的长求出AD+BC的长，过A和D作出梯形的两条高，根据三个角为直角的四边形为矩形得到AMND为矩形，根据矩形的对边相等得到AD=MN，又∠B=45°，得到三角形ABM为等腰直角三角形，由高AM的长得到BM的长，同理得到CN的长，设AD=MN=xcm，由AD+BC的长列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，进而求出BC的长，然后利用梯形的面积公式即可求出梯形ABCD的面积．
点评：此题考查了等腰梯形的性质，以及梯形中位线定理．其中等腰梯形的性质有：同一底上的两个角相等，对角线相等；梯形的中位线性质是：梯形的中位线平行与底边，且等于两底和的一半．梯形经常连接的辅助线有四种，分别是：作两条高；延长两腰；平移对角线；平移腰．