Question

4．如图，?ABCD中，∠A=45°，AB=$\sqrt{2}+1$，点P为射线AB上一动点，⊙P的半径为r，且始终经过点B．
（1）如图1，设⊙P与边BC的另一交点M，作PN⊥AD于N，若点P在运动过程中，线段MN恰好能与线段CD重合，求BC的长；
（2）如图2，作CE⊥AB于E，若点P从点A至点E的运动过程中，只有一次与直线AD相切的机会，求BC的取值范围（结果中分母可带根号）．

Answer 1

分析 （1）由线段MN恰好能与线段CD重合，推出四边形ABMN是平行四边形，推出∠A=∠MNG=45°，易知△BGP，△MNG，△MGP都是等腰直角三角形，可得MN=AB=PC=PB=$\sqrt{2}$+1，BC=$\sqrt{2}$PB=2+$\sqrt{2}$；
（2）当P与E重合时，⊙P与AD相切于点N，连接PN．设PC=PB=r，则有$\frac{\sqrt{2}}{2}$r=r-（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），解得r=3+2$\sqrt{2}$，BC=3$\sqrt{2}$+4，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵线段MN恰好能与线段CD重合，
∴四边形ABMN是平行四边形，
∴∠A=∠MNG=45°，
易知△BGP，△MNG，△MGP都是等腰直角三角形，
∴MN=AB=PC=PB=$\sqrt{2}$+1，
∴BC=$\sqrt{2}$PB=2+$\sqrt{2}$．

（2）当P与E重合时，⊙P与AD相切于点N，连接PN．设PC=PB=r，

则有$\frac{\sqrt{2}}{2}$r=r-（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$），解得r=3+2$\sqrt{2}$，
∴BC=3$\sqrt{2}$+4，
由题意可知若点P从点A至点E的运动过程中，只有一次与直线AD相切的机会，BC的取值范围为0＜BC＜3$\sqrt{2}$+4．

点评 本题考查圆的有关知识，平行四边形的性质、切线的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，灵活运用所学知识，属于中考常考题型．