Question

【题目】如图，已知⊙O是以BC为直径的△ABC的外接圆，OP∥AC，且与BC的垂线交于点P，OP交AB于点D，BC、PA的延长线交于点E．

（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若sinE＝，PA＝6，求AC的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）先利用平行线的性质得到∠ACO=∠POB，∠CAO=∠POA，加上∠ACO=∠CAO，则∠POA=∠POB，于是可根据“SAS”判断△PAO≌△PBO，则∠PAO=∠PBO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到PA是⊙O的切线；

（2）先由△PAO≌△PBO得PB=PA=6，在Rt△PBE中，利用正弦的定义可计算PE=10，则AE=PE-PA=4，再在Rt△AOE中，由sinE=，可设OA=3t，则OE=5t，由勾股定理得到AE=4t，则4t=4，解得t=1，所以OA=3；接着在Rt△PBO中利用勾股定理计算出OP=3，然后证明△EAC∽△EPO，再利用相似比可计算出AC．

（1）证明：连接OA，如图，

∵AC∥OP，

∴∠ACO＝∠POB，∠CAO＝∠POA，

又∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠CAO，

∴∠POA＝∠POB，

在△PAO和△PBO中，

，

∴△PAO≌△PBO（SAS），

∴∠PAO＝∠PBO，

又∵PB⊥BC，

∴∠PBO＝90°，

∴∠PAO＝90°，

∴OA⊥PE，

∴PA是⊙O的切线；

（2）解：∵△PAO≌△PBO，

∴PB＝PA＝6，

在Rt△PBE中，∵sinE＝

∴，解得PE＝10，

∴AE＝PE﹣PA＝4，

在Rt△AOE中，sinE＝，

设OA＝3t，则OE＝5t，

∴AE＝＝4t，

∴4t＝4，解得t＝1，

∴OA＝3，

在Rt△PBO中，∵OB＝3，PB＝6，

∴OP＝，

∵AC∥OP，

∴△EAC∽△EPO，

∴，即，

∴AC＝．