Question

如图，正方形ABCD中，AB=l，BC为⊙O的直径，设AD边上有一动点P（不运动至A、D），BP交⊙O于点F，CF的延长线交AB于点E，连接PE．
（1）设BP=x，CF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当CF=2EF时，求BP的长；
（3）是否存在点P，使△AEP∽△BEC（其对应关系只能是A-B，E-E，P-C）？如果存在，试求出AP的长；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由BC为⊙O的直径与四边形ACD是正方形，即可求得AB=BC=1，∠ABC=∠A=90°，则可证得△ABP∽△FCB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得y与x之间的函数关系式；
（2）由射影定理，可得BC²=CF•EC，又由CF=2EF，即可求得CF的长，由（1）求得BP的长；
（3）由△ABP≌△BCE可得：AP=BE，由△AEP∽△BEC，即可得比例式

AE

BE

=

AP

BC

，设AP=a，则BE=AP=a，AE=1-a，解方程即可求得AP的长．

解答：解：（1）∵BC为⊙O的直径，
∴∠BFC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=1，∠ABC=∠A=90°，
∴AB是⊙O的切线，
∴∠ABP=∠FCB，
∴△ABP∽△FCB，
∴

AB

FC

=

PB

BC

，
∵BP=x，CF=y，
∴

1

y

=

x

1

，
∴y与x之间的函数关系式为：y=

1

x

，
自变量x的取值范围为：1＜x＜

2

；

（2）∵∠ABC=90°，BF⊥EC，
∴BC²=CF•EC，
∵CF=2EF，
∴CF•

3

2

CF=1，
∴CF=

6

3

，
∴BP=

1

CF

=

6

2

；

（3）存在．
理由：∵∠A=∠ABC=90°，∠ABP=∠BCE，AB=BC，
∴△ABP≌△BCE，
∴AP=BE，
若△AEP∽△BEC，
需

AE

BE

=

AP

BC

，
设AP=a，则BE=AP=a，AE=1-a，
∴

1-a

a

=

a

1

，
∴即a²+a-1=0，
解得：a=

5 -1

2

或a=

-1- 5

2

（舍去），
∴AP=

5 -1

2

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，圆的性质，射影定理等知识．此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．