Question

【题目】已知点，点D在双曲线的图象上，而点P是直线上的动点，若这三点与平面上任意一点构成正方形，则点D的坐标为____________．

Answer 1

【答案】（3,4）或（4,3）或或或（-12，-1）

【解析】

由题意，只要ADP组成等腰直角三角形就可以，讨论分别以A、D、P为直角顶点的直角三角形，可得出结论.

由题意，只要△ADP为等腰直角三角形就可以构成正方形，

①如图所示，若∠ADP=90°，AD=DP，过D作EF∥x轴，则可得DE⊥AE，DF⊥PF，

∵∠ADP=90°，∴∠ADE+∠PDF=90°，

又∵∠EAD+∠ADE=90°，∴∠EAD=∠PDF，

在△ADE和△DPF中，

∴△ADE≌△DPF（AAS）

∴DE=PF，AE=DF，

设D点坐标，P点坐标为，则DE=PF=m，AE=DF=4-m

∵A点纵坐标为3，∴OA=3，E点纵坐标为3+4-m=7-m，与D点纵坐标相等，

则，解得m=3或4，则D点坐标为（3,4）或（4,3）；

②如图所示，若∠APD=90°，AP=DP，过P作EF∥x轴，过D作DF∥y轴，则可得PE⊥AE，DF⊥PF，

同①可证△PAE≌△DPF，∴PE=DF，AE=PF，

设D点坐标，P点坐标为，则PE=DF=4，AE=PF=m-4，

由E点和F点纵坐标相同可得，，解得，，所以D点坐标为或

③如图所示，若∠PAD=90°，AD=AP，过A作EF∥x轴，过D点作DE∥y轴，则可得AE⊥DE，AF⊥PF，

同理可证△ADE≌△PAF，所以AE=PF，DE=AF，

设D点坐标，P点坐标为，则AE=PF=-m，DE=AF=4，

由E点纵坐标与A点纵坐标相等，可得，解得m=-12，

所以D坐标为（-12，-1）

综上所述D点坐标为（3,4）或（4,3）或或或（-12，-1）