Question

（10分）如图以O为圆心的两个同心圆，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC与大圆相交于点D，且OC平分∠ACB．

【小题1】⑴试判断BC所在的直线与小圆的位置关系，并说明理由；
【小题2】⑵试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；
【小题3】⑶若AB＝8cm，BC＝10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积

Answer 1

【小题1】相切，过O作OE⊥BC交BC交E得用角平分线性质证OE＝OA
【小题2】⑵BC＝AC＋AD，连OD证△AOD≌△EOB
【小题3】⑶可得AC＝6，由⑵得BE＝4，S_环形面积＝π(OB²－OE²)＝16π

解析考点：切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。
分析：
（1）只要证明OE垂直BC即可得出BC是小圆的切线，即与小圆的关系是相切。
（2）利用全等三角形的判定得出Rt△OAD≌Rt△OEB，从而得出EB=AD，从而得到三者的关系是前两者的和等于第三者。
（3）根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积。
解答：

（1）BC所在直线与小圆相切。理由如下：
过圆心O作OE⊥BC，垂足为E；
∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O，
∴OA⊥AC；
又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，
∴OE=OA，
∴BC所在直线是小圆的切线。
（2）AC+AD=BC。理由如下：
连接OD，
∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E，
∴CE=CA；
∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，OA=OE，OD=OB，
∴Rt△OAD≌Rt△OEB，
∴EB=AD；
∵BC=CE+EB，
∴BC=AC+AD。
（3）∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm，
∴AC=6cm；
∵BC=AC+AD，
∴AD=BC-AC=4cm，
∵圆环的面积为：S=π（OD）²-π（OA）²=π（OD²-OA²），
又∵OD²-OA²=AD²，
∴S=4²π=16π（cm²）。